સાબિત કરો કે $f: R \rightarrow R ,$ $f(x)=[x]$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત મહત્તમ પૂર્ણાક વિધેય $(Greatest\, integer \,function)$ એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી. અહીં, $[x]$ એ $x$ થી નાના અથવા $x$ ને સમાન તમામ પૂર્ણાકોમાં મહત્તમ પૂર્ણાક દર્શાવે છે. બીજા શબ્દોમાં $x$ થી અધિક નહિ તેવા પૂર્ણાકોમાં સૌથી મોટો પૂર્ણાક $x$ છે.
સાબિત કરો કે $f: R \rightarrow R ,$ $f(x)=[x]$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત મહત્તમ પૂર્ણાક વિધેય $(Greatest\, integer \,function)$ એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી. અહીં, $[x]$ એ $x$ થી નાના અથવા $x$ ને સમાન તમામ પૂર્ણાકોમાં મહત્તમ પૂર્ણાક દર્શાવે છે. બીજા શબ્દોમાં $x$ થી અધિક નહિ તેવા પૂર્ણાકોમાં સૌથી મોટો પૂર્ણાક $x$ છે.
$f : R \rightarrow R$ is given by, $f ( x )=[ x ]$
It is seen that $f(1.2)=[1.2]=1, f(1.9)=[1.9]=1$
$\therefore f (1.2)= f (1.9),$ but $1.2 \neq 1.9$
$\therefore f$ is not one $-$ one.
Now, consider $0.7 \in R$
It is known that $f(x)=[x]$ is always an integer. Thus, there does not exist any element $x \in R$ such that $f(x)=0.7$
$\therefore f$ is not onto
Hence, the greatest integer function is neither one-one nor onto.
Similar Questions
વિધેય $f(x) = \frac{{{{\sin }^{ - 1}}(3 - x)}}{{\ln (|x|\; - 2)}}$ નો પ્રદેશ મેળવો.
વિધેય $f(x) = \frac{{{{\sin }^{ - 1}}(3 - x)}}{{\ln (|x|\; - 2)}}$ નો પ્રદેશ મેળવો.
$f(x)=\frac{2 x}{\sqrt{1+9 x^2}}$ પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત વિધેય $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ધ્યાને લો. જો $f$ નું સંયોજન $\underbrace{(f \circ f \circ f \circ \cdots \circ f)}_{1090 \cdots+1}(x)=\frac{2^{10} x}{\sqrt{1+9 \alpha x^2}}$ હોય, તો $\sqrt{3 \alpha+1}$ નું મૂલ્ચ .......... છે.
$f(x)=\frac{2 x}{\sqrt{1+9 x^2}}$ પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત વિધેય $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ધ્યાને લો. જો $f$ નું સંયોજન $\underbrace{(f \circ f \circ f \circ \cdots \circ f)}_{1090 \cdots+1}(x)=\frac{2^{10} x}{\sqrt{1+9 \alpha x^2}}$ હોય, તો $\sqrt{3 \alpha+1}$ નું મૂલ્ચ .......... છે.
- [JEE MAIN 2024]
$\alpha$ ની ન્યુનતમ કિમત મેળવો કે જેથી વક્ર $f(x) = ||x -2| -\alpha|-5$ ને બરાબર ચાર $x-$ અંત:ખંડ હોય.
$\alpha$ ની ન્યુનતમ કિમત મેળવો કે જેથી વક્ર $f(x) = ||x -2| -\alpha|-5$ ને બરાબર ચાર $x-$ અંત:ખંડ હોય.
સાબિત કરો કે વિધેય $f: R \rightarrow R$, $f(x)=2 x$ એક-એક અને વ્યાપ્ત છે.
સાબિત કરો કે વિધેય $f: R \rightarrow R$, $f(x)=2 x$ એક-એક અને વ્યાપ્ત છે.
જો $x > 2$ માટે $f(x) = \frac{1}{{\sqrt {x + 2\sqrt {2x - 4} } }} + \frac{1}{{\sqrt {x - 2\sqrt {2x - 4} } }}$ ,તો $f(11) = $
જો $x > 2$ માટે $f(x) = \frac{1}{{\sqrt {x + 2\sqrt {2x - 4} } }} + \frac{1}{{\sqrt {x - 2\sqrt {2x - 4} } }}$ ,તો $f(11) = $