નિત્યસમ $\sec ^{2} \theta=1+\tan ^{2} \theta$ નો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે, $\frac{\sin \theta-\cos \theta+1}{\sin \theta+\cos \theta-1}=\frac{1}{\sec \theta-\tan \theta}$ 

અહીં $\tan \theta$ અને $\sec \theta$ ને સમાવતા નિત્યસમનો ઉપયોગ કરવાનો હોવાથી, સૌપથમ આપણો ડા,બા.ના (આપણે જેને સાબિત કરવા માગીએ છીએ તે નિત્યસમની) અંશ અને છેદમાં રહેલા દરેક પદને $\cos \theta$ વડે ભાગીશું  અને ડા.બા.નું $\sec \theta$ અને $\tan \theta$ ના સ્વરૂપમાં રૂપાંતર કરીશું.

ડા.બા. $=\frac{\sin \theta-\cos \theta+1}{\sin \theta+\cos \theta-1}=\frac{\tan \theta-1+\sec \theta}{\tan \theta+1-\sec \theta}$

$=\frac{(\tan \theta+\sec \theta)-1}{(\tan \theta-\sec \theta)+1}=\frac{\{(\tan \theta+\sec \theta)-1\}(\tan \theta-\sec \theta)}{\{(\tan \theta-\sec \theta)+1\}(\tan \theta-\sec \theta)}$

$=\frac{\left(\tan ^{2} \theta-\sec ^{2} \theta\right)-(\tan \theta-\sec \theta)}{\{\tan \theta-\sec \theta+1\}(\tan \theta-\sec \theta)}$

$=\frac{-1-\tan \theta+\sec \theta}{(\tan \theta-\sec \theta+1)(\tan \theta-\sec \theta)}$

$=\frac{-1}{\tan \theta-\sec \theta}=\frac{1}{\sec \theta-\tan \theta}$