સાબિત કરો કે $(1+x)^{2 n}$ ના વિસ્તરણનું મધ્યમ પદ $\frac{1.3 .5 \ldots(2 n-1)}{n !} 2 n\, x^{n}$ છે, જ્યાં $n$ ધન પૂર્ણાક છે.
સાબિત કરો કે $(1+x)^{2 n}$ ના વિસ્તરણનું મધ્યમ પદ $\frac{1.3 .5 \ldots(2 n-1)}{n !} 2 n\, x^{n}$ છે, જ્યાં $n$ ધન પૂર્ણાક છે.
As $2 n$ is even, the middle term of the expansion $(1+x)^{2 n}$ is $\left(\frac{2 n}{2}+1\right)^{\text {th }}$
i.e., $(n+1)^{\text {th }}$ term which is given by,
${T_{n + 1}} = {\,^{2n}}{C_n}{(1)^{2n - n}}{(x)^n} = {\,^{2n}}{C_n}{x^n} = \frac{{(2n)!}}{{n!n!}}{x^n}$
$=\frac{2 n(2 n-1)(2 n-2) \ldots 4.3 .2 .1}{n ! n !} x^{n}$
$=\frac{1.2 .3 .4 \ldots(2 n-2)(2 n-1)(2 n)}{n ! n !} x^{n}$
$=\frac{[1.3 .5 \ldots(2 n-1)][2.4 .6 \ldots .(2 n)]}{n ! n !} x^{n}$
$=\frac{[1.3 .5 \ldots(2 n-1)] 2^{n}[1.2 .3 \dots n]}{n ! n !} x^{n}$
$=\frac{[1.3 .5 \ldots(2 n-1)] n !}{n ! n !} 2^{n} \cdot x^{n}$
$=\frac{1.3 .5 \ldots(2 n-1)}{n !} 2^{n} x^{n}$
Similar Questions
જો $\left( a x^3+\frac{1}{ b x^{1 / 3}}\right)^{15}$ ના વિસ્તારમાં $x^{15}$ નો સહગુણક એ $\left( a x^{1 / 3}-\frac{1}{ b x^3}\right)^{15}$ ના વિસ્તરણ માં $x^{-15}$ ના સહગુણક જેટલો થાય,જ્યાં $a$ અને $b$ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે,તો આવી પ્રત્યેક ક્રમયુક્ત જોડ $(a,b)$ માટે $..........$.
જો $\left( a x^3+\frac{1}{ b x^{1 / 3}}\right)^{15}$ ના વિસ્તારમાં $x^{15}$ નો સહગુણક એ $\left( a x^{1 / 3}-\frac{1}{ b x^3}\right)^{15}$ ના વિસ્તરણ માં $x^{-15}$ ના સહગુણક જેટલો થાય,જ્યાં $a$ અને $b$ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે,તો આવી પ્રત્યેક ક્રમયુક્ત જોડ $(a,b)$ માટે $..........$.
- [JEE MAIN 2023]
જો ${(1 + x)^n}$ ના વિસ્તરણમાં ${p^{th}}$, ${(p + 1)^{th}}$ અને ${(p + 2)^{th}}$ પદો સમાંતર શ્રેણીમાં હોય તો . . . .
જો ${(1 + x)^n}$ ના વિસ્તરણમાં ${p^{th}}$, ${(p + 1)^{th}}$ અને ${(p + 2)^{th}}$ પદો સમાંતર શ્રેણીમાં હોય તો . . . .
- [AIEEE 2005]
જો $K$ એ $( 1 + x + ax^2) ^{10}$ ના વિસ્તરણમાં $x^4$ નો સહગુણક હોય તો $'a'$ ની કઈ કિમત માટે $K$ ન્યૂનતમ થાય?
જો $K$ એ $( 1 + x + ax^2) ^{10}$ ના વિસ્તરણમાં $x^4$ નો સહગુણક હોય તો $'a'$ ની કઈ કિમત માટે $K$ ન્યૂનતમ થાય?
${\left( {\sqrt x - \frac{2}{x}} \right)^{18}}$ ના વિસ્તરણમાં અચળપદ મેળવો.
${\left( {\sqrt x - \frac{2}{x}} \right)^{18}}$ ના વિસ્તરણમાં અચળપદ મેળવો.
${\left( {1 - \frac{1}{x}} \right)^n}\left( {1 - {x}} \right)^n$ ના વિસ્તરણમાં મધ્યમ પદ મેળવો.
${\left( {1 - \frac{1}{x}} \right)^n}\left( {1 - {x}} \right)^n$ ના વિસ્તરણમાં મધ્યમ પદ મેળવો.
- [AIEEE 2012]