दिखाइए कि $(1+x)^{2 n}$ के प्रसार में मध्य पद $\frac{1.3 .5 \ldots(2 n-1)}{n !} 2 n\, x^{n},$ है, जहाँ $n$ एक धन पूर्णांक है।

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As $2 n$ is even, the middle term of the expansion $(1+x)^{2 n}$ is $\left(\frac{2 n}{2}+1\right)^{\text {th }}$

i.e., $(n+1)^{\text {th }}$ term which is given by,

${T_{n + 1}} = {\,^{2n}}{C_n}{(1)^{2n - n}}{(x)^n} = {\,^{2n}}{C_n}{x^n} = \frac{{(2n)!}}{{n!n!}}{x^n}$

$=\frac{2 n(2 n-1)(2 n-2) \ldots 4.3 .2 .1}{n ! n !} x^{n}$

$=\frac{1.2 .3 .4 \ldots(2 n-2)(2 n-1)(2 n)}{n ! n !} x^{n}$

$=\frac{[1.3 .5 \ldots(2 n-1)][2.4 .6 \ldots .(2 n)]}{n ! n !} x^{n}$

$=\frac{[1.3 .5 \ldots(2 n-1)] 2^{n}[1.2 .3 \dots n]}{n ! n !} x^{n}$

$=\frac{[1.3 .5 \ldots(2 n-1)] n !}{n ! n !} 2^{n} \cdot x^{n}$

$=\frac{1.3 .5 \ldots(2 n-1)}{n !} 2^{n} x^{n}$

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यदि  ${(1 + x)^m}$ के द्विपद प्रसार में तृतीय पद  $ - \frac{1}{8}{x^2}$ है, तब $m$ का परिमेय मान है

${(1 + 3x + 2{x^2})^6}$ के प्रसार में  ${x^{11}}$ का गुणांक है 

${\left( {{x^4} - \frac{1}{{{x^3}}}} \right)^{15}}$ के प्रसार में ${x^{32}}$ का गुणांक होगा

$\left(2 x^3-\frac{1}{3 x^2}\right)^5$ के प्रसार में $\mathrm{x}^5$ का गुणांक है

  • [JEE MAIN 2023]

निम्नलिखित के प्रसार में व्यापक पद लिखिए

$\left(x^{2}-y x\right)^{12}, x \neq 0$