दिखाइए कि $(1+x)^{2 n}$ के प्रसार में मध्य पद $\frac{1.3 .5 \ldots(2 n-1)}{n !} 2 n\, x^{n},$ है, जहाँ $n$ एक धन पूर्णांक है।
As $2 n$ is even, the middle term of the expansion $(1+x)^{2 n}$ is $\left(\frac{2 n}{2}+1\right)^{\text {th }}$
i.e., $(n+1)^{\text {th }}$ term which is given by,
${T_{n + 1}} = {\,^{2n}}{C_n}{(1)^{2n - n}}{(x)^n} = {\,^{2n}}{C_n}{x^n} = \frac{{(2n)!}}{{n!n!}}{x^n}$
$=\frac{2 n(2 n-1)(2 n-2) \ldots 4.3 .2 .1}{n ! n !} x^{n}$
$=\frac{1.2 .3 .4 \ldots(2 n-2)(2 n-1)(2 n)}{n ! n !} x^{n}$
$=\frac{[1.3 .5 \ldots(2 n-1)][2.4 .6 \ldots .(2 n)]}{n ! n !} x^{n}$
$=\frac{[1.3 .5 \ldots(2 n-1)] 2^{n}[1.2 .3 \dots n]}{n ! n !} x^{n}$
$=\frac{[1.3 .5 \ldots(2 n-1)] n !}{n ! n !} 2^{n} \cdot x^{n}$
$=\frac{1.3 .5 \ldots(2 n-1)}{n !} 2^{n} x^{n}$
यदि द्विपद ${\left( {\sqrt[3]{2} + \frac{1}{{\sqrt[3]{3}}}} \right)^n}$ है और यदि प्रारम्भ से सातवें पद और अन्त से सातवें पद का अनुपात $\frac{1}{6}$ हो, तो $n = $
$\sum\limits_{m = 0}^{100} {{\,^{100}}{C_m}{{(x - 3)}^{100 - m}}} {.2^m}$ के विस्तार में ${x^{53}}$ का गुणांक है
${(1 + x)^{10}}$ के विस्तार में मध्य पद का गुणांक होगा
यदि $\left(\sqrt{ x }-\frac{ k }{ x ^{2}}\right)^{10}$ के द्विपद प्रसार में अचर में पद $405$ , है तो $| k |$ बराबर है
यदि ${(1 + x)^n}$ के विस्तार में पाँचवें, छठवें तथा सांतवें पदों के गुणांक समान्तर श्रेणी में हों, तो $n =$