सिद्ध कीजिए कि किसी कॉलेज के पुस्तकालय की समस्त पुस्तकों के समुच्चय $A$ में $R =\{(x, y): x$ तथा $y$ में पेजों की संख्या समान है $\}$ द्वारा प्रदत्त संबंध $R$ एक तुल्यता संबंध है।
सिद्ध कीजिए कि किसी कॉलेज के पुस्तकालय की समस्त पुस्तकों के समुच्चय $A$ में $R =\{(x, y): x$ तथा $y$ में पेजों की संख्या समान है $\}$ द्वारा प्रदत्त संबंध $R$ एक तुल्यता संबंध है।
Set $A$ is the set of all books in the library of a college.
$R =\{ x , y ): x$ and $y$ have the same number of pages $\}$
Now, $R$ is reflexive since $( x , \,x ) \in R$ as $x$ and $x$ has the same number of pages.
Let $( x , \,y ) \in R \Rightarrow x$ and $y$ have the same number of pages.
$\Rightarrow $ $y$ and $x$ have the same number of pages.
$\Rightarrow $ $(y, x) \in R$
$\therefore R$ is symmetric.
Now, let $( x , y ) \in R$ and $( y ,\, z ) \in R$
$\Rightarrow x$ and $y$ and have the same number of pages and $y$ and $z$ have the same number of pages.
$\Rightarrow x$ and $z$ have the same number of pages.
$\Rightarrow $ $(x, z) \in R$
$\therefore R$ is transitive. Hence, $R$ is an equivalence relation.
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समुच्चय $\{\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}\}$ पर संबंध $\mathrm{R}=\{(\mathrm{a}, \mathrm{b}),(\mathrm{b}, \mathrm{c})\}$ में कम से कम कितने अवयव जोड़े जाएं कि संबंध $R$ सममित तथा संक्रामक हो जाए।
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- [JEE MAIN 2023]
यदि $R$ सभी प्राकृत संख्याओं के समुच्चय का सम्बन्ध $(relation)$ इस प्रकार निरुपित करता है कि
$a R b \Leftrightarrow a, b^2$ को विभाजित करता है.
$I$. सतुल्यता $(reflexivity)$
$II$. सममिति $(symmetry)$
$III$. संक्रमिता $(transitivity)$
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- [KVPY 2017]
माना $\mathrm{A}=\{1,2,3,4\}$ है तथा $\mathrm{A} \times \mathrm{A}$ पर एक संबंध $\mathrm{R}$ निम्न प्रकार परिभाषित है
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- [JEE MAIN 2023]
सिद्ध कीजिए कि समुच्चय $\{1,2,3\}$ में $R =\{(1,1),(2,2), (3,3),(1,2),(2,3)\}$ द्वारा प्रद्त संबंध स्वतुल्य है, परंतु न तो सममित है और न संक्रामक है।
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माना $R = \{(1, 3), (2, 2), (3, 2)\} $ तथा $ S = \{(2, 1), (3, 2), (2, 3)\} $ समुच्चय $A = \{1, 2, 3\}$ पर दो संबंध है, तब $RoS =$
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