વિધાન 1: mathop sum limits_{r = 0}^n left( {r | vedclass

Name: PDF Generator App | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

We have

$\sum_{r=0}^{n}(r+1)^{n} C_{r} x^{r}=$$\sum_{r=0}^{n} r {\cdot}^{n} C_{r} x^{r}+\sum_{r=0}^{n}{\cdot} ^{n} C_{r} x^{r}$

$=\sum_{r=1}^{n}

Vedclass · Accepted Answer

વિધાન $- 1$ સાચું છે, વિધાન $- 2$ સાચું છે. વિધાન $- 2$ એ વિધાન$- 1$ ની સાચી સમજૂતી છે.

Vedclass · Answer

We have

$\sum_{r=0}^{n}(r+1)^{n} C_{r} x^{r}=$$\sum_{r=0}^{n} r {\cdot}^{n} C_{r} x^{r}+\sum_{r=0}^{n}{\cdot} ^{n} C_{r} x^{r}$

$=\sum_{r=1}^{n} r \cdot \frac{n}{r}^{n-1} C_{r-1} x^{r}+(1+x)^{n}$

$=n x \sum_{r=1}^{n} n-^{1} C_{r-1} x^{r-1}+(1+x)^{n}$

$=n x(1+x)^{n-1}+(1+x)^{n}=R H S$

$	herefore$ Statement $2$ is correct.

Putting $x=1,$ we get

$\sum_{r=0}^{n}(r+1)^{n} C_{r}=n .2^{n-1}+2^{n}=(n+2) \cdot 2^{n-1}$

Statement $1$ is also true and statement $2$ is a correct explanation for statement $1$

Similar Questions

${(x + 2y + 3z)^8}$ ના સહગુણકોનો સરવાળો.

${(x + a)^n}$ ના વિસ્તરણમાં , $A$ એ અયુગ્મ પદનો સરવાળો દર્શાવે છે અને $B$ એ યુગ્મ પદનો સરવાળો દર્શાવે છે તો . . . ..

${C_0}{C_r} + {C_1}{C_{r + 1}} + {C_2}{C_{r + 2}} + .... + {C_{n - r}}{C_n}$=

જો $\frac{{ }^{11} C_1}{2}+\frac{{ }^{11} C_2}{3}+\ldots . .+\frac{{ }^{11} C_9}{10}=\frac{n}{m}$ જ્યાં ગુ. સા. અ. $\operatorname(n, m)=1$,હોય,તો $n+m$ .....................

${(1 + x - 3{x^2})^{2134}}$ ના સહગુણકનો સરવાળો મેળવો.