સમગુણોત્તર શ્રેણીના પાંચમા, આઠમાં અને અગિયારમાં પદ અનુક્રમે $p, q$ અને $s$ હોય, તો બતાવો કે $q^{2}=p s$
Let $a$ be the first term and $r$ be the common ratio of the $G.P.$ According to the given condition,
$a_{5}=a r^{5-1}=a r^{4}=p$ .........$(1)$
$a_{8}=a r^{8-1}=a r^{7}=q$ .........$(2)$
$a_{11}=a r^{11-1}=a r^{10}=s$ .........$(3)$
Dividing equation $(2)$ by $(1),$ we obtain
$\frac{a r^{7}}{a r^{4}}=\frac{q}{p}$
$r^{3}=\frac{q}{p}$ .........$(4)$
Dividing equation $(3)$ by $(2),$ we obtain
$\frac{a r^{10}}{a r^{7}}=\frac{s}{q}$
$\Rightarrow r^{3}=\frac{s}{q}$ .......$(5)$
Equating the values of $r^{3}$ obtained in $(4)$ and $(5),$ we obtain
$\frac{q}{p}=\frac{s}{q}$
$\Rightarrow q^{2}=p s$
Thus, the given result is proved.
$( - \pi ,\,\,\pi )\,\,$ આંતરલમાં સમીકરણ $\,{{\rm{(8)}}^{{\rm{(1}}\, + \,{\rm{|cosx|}}\, + \,|{\rm{co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x| }} + {\rm{ |co}}{{\rm{s}}^{\rm{3}}}{\rm{x|}}\, + ......{\rm{)}}}}\,\, = \,\,{4^3}$ નો ઉકેલ ક્યો છે ?
$a$ અને $b$ વચ્ચેના $n$ સમગુણોત્તર મધ્યકોનો ગુણાકાર કેટલો થાય ?
શ્રેણી $0.7, 0.77, 0.777, ......$ ના પ્રથમ $20$ પદોનો સરવાળો કેટલો થાય ?
જો અનંત સમગુણોતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય ગુણોતર $r$ હોય અને શ્રેણીનો સરવાળો $4$ હોય અને બીજું પદ $3/4$ હોય,તો
$x$ ની કઈ કિંમત માટે $\frac{2}{7}, x,-\frac{7}{2}$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં થાય ?