સમગુણોત્તર શ્રેણીના પાંચમા, આઠમાં અન?

English

Gujarati

Hindi

8. Sequences and Series

medium

સમગુણોત્તર શ્રેણીના પાંચમા, આઠમાં અને અગિયારમાં પદ અનુક્રમે $p, q$ અને $s$ હોય, તો બતાવો કે $q^{2}=p s$

Option A

Option B

Option C

Option D

Solution

Let $a$ be the first term and $r$ be the common ratio of the $G.P.$ According to the given condition,

$a_{5}=a r^{5-1}=a r^{4}=p$ ………$(1)$

$a_{8}=a r^{8-1}=a r^{7}=q$ ………$(2)$

$a_{11}=a r^{11-1}=a r^{10}=s$ ………$(3)$

Dividing equation $(2)$ by $(1),$ we obtain

$\frac{a r^{7}}{a r^{4}}=\frac{q}{p}$

$r^{3}=\frac{q}{p}$ ………$(4)$

Dividing equation $(3)$ by $(2),$ we obtain

$\frac{a r^{10}}{a r^{7}}=\frac{s}{q}$

$\Rightarrow r^{3}=\frac{s}{q}$ …….$(5)$

Equating the values of $r^{3}$ obtained in $(4)$ and $(5),$ we obtain

$\frac{q}{p}=\frac{s}{q}$

$\Rightarrow q^{2}=p s$

Thus, the given result is proved.

Standard 11

Mathematics

Share

Similar Questions

ધારો કે $\left\{a_k\right\}$ અને $\left\{b_k\right\}, k \in N$, એ અનુક્રમે $r _1$ અને $r _2$ સામાન્ય ગુણોત્તરવાળી એવી બે સમગુણોત્તર શ્રેણીઓ છે, જ્યાં $a_1=b_1=4$ અને $r _1 < r _2$. ધારો કે $c _k=a_k+ b _k, k \in N$. જો $c _2=5$ અને $c _3=\frac{13}{4}$ હોય,તો $\sum \limits_{k=1}^{\infty} c _k-\left(12 a_6+8 b_4\right)=…………$

hard

(JEE MAIN-2023)

$a$ અને $b$ વચ્ચેના $n$ સમગુણોત્તર મધ્યકોનો ગુણાકાર કેટલો થાય ?

easy

જો $\sum\limits_{{\text{r}}\, = \,{\text{1}}}^\infty {\frac{1}{{{{(2r\, – \,1)}^2}}}\,\, = \,\,\frac{{{\pi ^2}}}{8}} $ હોય, તો $\,\sum\limits_{{\text{r}}\, = \,{\text{1}}}^\infty {\frac{1}{{{r^2}}}\,\, = \,\,………} $

hard

$5^{1/2}.5^{1/4}.5^{1/8}…….. \infty $ નું મૂલ્ય ……. છે.

easy

અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણીના પદોનો સરવાળો $3$ અને તેમના વર્ગનો સરવાળો પદ $3$ થાય, તો શ્રેણીનું પ્રથમ પદ અને સામાન્ય ગુણોત્તર કેટલો થાય?

hard