સમગુણોત્તર શ્રેણીના પાંચમા, આઠમાં અને અગિયારમાં પદ અનુક્રમે $p, q$ અને $s$ હોય, તો બતાવો કે $q^{2}=p s$
સમગુણોત્તર શ્રેણીના પાંચમા, આઠમાં અને અગિયારમાં પદ અનુક્રમે $p, q$ અને $s$ હોય, તો બતાવો કે $q^{2}=p s$
Let $a$ be the first term and $r$ be the common ratio of the $G.P.$ According to the given condition,
$a_{5}=a r^{5-1}=a r^{4}=p$ .........$(1)$
$a_{8}=a r^{8-1}=a r^{7}=q$ .........$(2)$
$a_{11}=a r^{11-1}=a r^{10}=s$ .........$(3)$
Dividing equation $(2)$ by $(1),$ we obtain
$\frac{a r^{7}}{a r^{4}}=\frac{q}{p}$
$r^{3}=\frac{q}{p}$ .........$(4)$
Dividing equation $(3)$ by $(2),$ we obtain
$\frac{a r^{10}}{a r^{7}}=\frac{s}{q}$
$\Rightarrow r^{3}=\frac{s}{q}$ .......$(5)$
Equating the values of $r^{3}$ obtained in $(4)$ and $(5),$ we obtain
$\frac{q}{p}=\frac{s}{q}$
$\Rightarrow q^{2}=p s$
Thus, the given result is proved.
Similar Questions
બે સંખ્યાઓનો સરવાળો તેમના સમગુણોત્તર મધ્યક કરતાં છ ગણો હોય, તો બતાવો કે સંખ્યાઓનો ગુણોત્તર $(3+2 \sqrt{2}):(3-2 \sqrt{2})$ થાય.
બે સંખ્યાઓનો સરવાળો તેમના સમગુણોત્તર મધ્યક કરતાં છ ગણો હોય, તો બતાવો કે સંખ્યાઓનો ગુણોત્તર $(3+2 \sqrt{2}):(3-2 \sqrt{2})$ થાય.
ધારોકે ધન સંખ્યાઓ $a_1, a_2, a_3, a_4$ અને $a_5$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે.ધારોકે તેમના મધ્યક અને વિચરણ અનુક્રમે $\frac{31}{10}$ અન $\frac{m}{n}$ છે,જ્યાં $m$ અને $n$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે.જો તેમના વ્યસ્ત નું મધ્યક $\frac{31}{40}$ અને $a_3+a_4+a_5=14$ હોય, તો $m+n=..........$
ધારોકે ધન સંખ્યાઓ $a_1, a_2, a_3, a_4$ અને $a_5$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે.ધારોકે તેમના મધ્યક અને વિચરણ અનુક્રમે $\frac{31}{10}$ અન $\frac{m}{n}$ છે,જ્યાં $m$ અને $n$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે.જો તેમના વ્યસ્ત નું મધ્યક $\frac{31}{40}$ અને $a_3+a_4+a_5=14$ હોય, તો $m+n=..........$
- [JEE MAIN 2023]
જો $a, b, c, d$ અને $p$ એ શૂન્યેતર ભિન્ન વાસ્તવિક સંખ્યા એવી મળે કે જેથી $\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) p^{2}-2(a b+b c+ cd ) p +\left( b ^{2}+ c ^{2}+ d ^{2}\right)=0$ થાય તો
જો $a, b, c, d$ અને $p$ એ શૂન્યેતર ભિન્ન વાસ્તવિક સંખ્યા એવી મળે કે જેથી $\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) p^{2}-2(a b+b c+ cd ) p +\left( b ^{2}+ c ^{2}+ d ^{2}\right)=0$ થાય તો
- [JEE MAIN 2020]
સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં નિર્દેશિત પદોનો સરવાળો શોધો : ${1, - a,{a^2}, - {a^3}, \ldots }$ પ્રથમ $n$ પદ
સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં નિર્દેશિત પદોનો સરવાળો શોધો : ${1, - a,{a^2}, - {a^3}, \ldots }$ પ્રથમ $n$ પદ
આપેલ સમગુણોત્તર શ્રેણી માટે $a=729$ અને $7$ મું પદ $64$ હોય તો $S$, શોધો.
આપેલ સમગુણોત્તર શ્રેણી માટે $a=729$ અને $7$ મું પદ $64$ હોય તો $S$, શોધો.