किसी गुणोत्तर श्रेणी का $5$ वाँ, $8$ वाँ तथा $11$ वाँ पद क्रमशः $p, q$ तथा $s$ हैं तो दिखाइए कि $q^{2}=p s$.
Let $a$ be the first term and $r$ be the common ratio of the $G.P.$ According to the given condition,
$a_{5}=a r^{5-1}=a r^{4}=p$ .........$(1)$
$a_{8}=a r^{8-1}=a r^{7}=q$ .........$(2)$
$a_{11}=a r^{11-1}=a r^{10}=s$ .........$(3)$
Dividing equation $(2)$ by $(1),$ we obtain
$\frac{a r^{7}}{a r^{4}}=\frac{q}{p}$
$r^{3}=\frac{q}{p}$ .........$(4)$
Dividing equation $(3)$ by $(2),$ we obtain
$\frac{a r^{10}}{a r^{7}}=\frac{s}{q}$
$\Rightarrow r^{3}=\frac{s}{q}$ .......$(5)$
Equating the values of $r^{3}$ obtained in $(4)$ and $(5),$ we obtain
$\frac{q}{p}=\frac{s}{q}$
$\Rightarrow q^{2}=p s$
Thus, the given result is proved.
यदि किसी धनात्मक गुणोत्तर श्रेणी का प्रत्येक पद अपने पूर्व के दो पदों के योग के बराबर है, तो श्रेणी का सार्व-अनुपात होगा
माना $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ गुणोत्तर श्रेणी इस प्रकार है कि $a_{1}<0, a_{1}+a_{2}=4$ तथा $a_{3}+a_{4}=16$. यदि $\sum_{i=1}^{9} a_{i}=4 \lambda$ है, तो $\lambda$ बराबर है
यदि गुणोत्तर श्रेणी के अनन्त पदों का योग $S$ है जिसका प्रथम पद $a$ है, तब प्रथम $n$ पदों का योगफल है
निम्नलिखित श्रेणियों के $n$ पदों का योग ज्ञात कीजिए।
$6+.66+.666+\ldots$
यदि गुणोत्तर श्रेणी $\left\{ {{a_n}} \right\}$ में,$\;{a_1} = 3,\;{a_n} = 96$ व ${S_n} = 189$, तब $n$ का मान है