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बिन्दु $(h, k)$ से वृत्त ${x^2} + {y^2} = {a^2}$ पर खींची गयी स्पर्श रेखाओं तथा उनके स्पर्श बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा द्वारा बने त्रिभुज का क्षेत्रफल है
$a{\rm{ }}\frac{{{{({h^2} + {k^2} - {a^2})}^{3/2}}}}{{{h^2} + {k^2}}}$
$a{\rm{ }}\frac{{{{({h^2} + {k^2} - {a^2})}^{1/2}}}}{{{h^2} + {k^2}}}$
$\frac{{{{({h^2} + {k^2} - {a^2})}^{3/2}}}}{{{h^2} + {k^2}}}$
$\frac{{{{({h^2} + {k^2} - {a^2})}^{1/2}}}}{{{h^2} + {k^2}}}$
Solution
(a) स्पर्श जीवा $AB$ का समीकरण है, $xh + yk = {a^2}$ …..$(i)$
$OM = $ रेखा $(i)$ पर $O(0, 0)$ से लम्बव्त दूरी
$ = \frac{{{a^2}}}{{\sqrt {{h^2} + {k^2}} }}$
$\therefore $ $AB = 2AM = 2\sqrt {O{A^2} – O{M^2}} $
$ = \frac{{2a\sqrt {{h^2} + {k^2} – {a^2}} }}{{\sqrt {{h^2} + {k^2}} }}$
साथ ही, $PM = $ $P(h,\;k) $ से रेखा $(i)$ पर लम्बवत् दूरी
= $\frac{{{h^2} + {k^2} – {a^2}}}{{\sqrt {{h^2} + {k^2}} }}$
अभीष्ट $\Delta PAB$ का क्षेत्रफल
$ = \frac{1}{2}.\;AB\;.\;PM $
$= \frac{{a{{({h^2} + {k^2} – {a^2})}^{3/2}}}}{{{h^2} + {k^2}}}$.
