${(1 + \alpha x)^4}$ व ${(1 - \alpha x)^6}$ के प्रसार में मध्य पद के गुणांक समान होंगे यदि $\alpha $ का मान है

${(1 + x)^n}$ के द्विपद विस्तार में द्वितीय, तृतीय तथा चतुर्थ पदों के गुणांक समान्तर श्रेणी में हैं, तब ${n^2} - 9n$ का मान होगा

द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए गुणनफल $(1+2 x)^{6}(1-x)^{7}$ में $x^{5}$ का गुणांक ज्ञात कीजिए।

यदि ${(1 + x)^{21}}$के प्रसार में ${x^r}$ तथा ${x^{r + 1}}$ के गुणांक बराबर हैं, तो $r$ का मान है

यदि $\left(\sqrt[4]{2}+\frac{1}{\sqrt[4]{3}}\right)^{n}$ के प्रसार में आरंभ से $5$ वें और अंत से $5$ वें पद का अनुपात $\sqrt{6}: 1$ हो तो $n$ ज्ञात कीजिए।

$\left(2 \mathrm{x}^2+\frac{1}{2 \mathrm{x}}\right)^{11}$ के प्रसार में $\mathrm{x}^{10}$ तथा $\mathrm{x}^7$ के गुणांको का निरपेक्ष अंतर बराबर है