${\left( {\frac{3}{2}{x^2} – \frac{1}{{3x}}} \right)^9}$ के प्रसार में व्यापक पद ${T_{r + 1}} = {\,^9}{C_r}{\left( {\frac{3}{2}{x^2}} \right)^{9 – r}}{\left( { – \frac{1}{{3x}}} \right)^r}$$ = {\,^9}{C_r}{\left( {\frac{3}{2}} \right)^{9 – r}}\left( { – \frac{1}{3}} \right){x^{18 – 3r}}$……$(i)$

अब $(1 + x + 2{x^3})\,\,{\left( {\frac{3}{2}{x^2} – \frac{1}{{3x}}} \right)^9}$ ……$(ii)$  के प्रसार में $x$ से स्वतंत्र पद का गुणांक  =       

${\left( {\frac{3}{2}{x^2} – \frac{1}{{3x}}} \right)^9}$के प्रसार में ${x^o},{x^{ – 1}},{x^{ – 3}}$के गुणांकों का योग

$(i)$ में ${x^0}$ के लिए $18 – 3r = 0 \Rightarrow r = 6$

$(i)$ में ${x^{ – 1}}$ के लिए $r$ के किसी मान का अस्तित्व नहीं है

$(i)$ में ${x^{ – 3}}$ के लिए $18 – 3r =  – 3 \Rightarrow r = 7$

$\therefore $ $(ii)$ में $x$ से स्वतंत्र पद के लिए गुणांक

$ = 1 \times {\,^9}{C_6}{( – 1)^6}{\left( {\frac{3}{2}} \right)^{9 – 6}}{\left( {\frac{1}{3}} \right)^6} + 2 \times {\,^9}{C_7}{( – 1)^7}{\left( {\frac{3}{2}} \right)^{9 – 7}}{\left( {\frac{1}{3}} \right)^7}$

$ = \frac{{9.8.7}}{{1.2.3}}.\frac{{{3^3}}}{{{2^3}}}.\frac{1}{{{3^6}}} + 2\frac{{9.8}}{{1.2}}( – 1)\frac{{{3^2}}}{{{2^2}}}.\frac{1}{{{3^7}}}$$ = \frac{7}{{18}} – \frac{2}{{27}} = \frac{{17}}{{54}}$.