यदि $(1+a)^{n}$ के प्रसार में तीन क्रमागत पदों के गुणांक $1: 7: 42$ के अनुपात में हैं तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।
Suppose the three consecutive terms in the expansion of $(1+a)^{n}$ are $(r-1)^{ th }, r^{ th }$ and $(r+1)^{ th }$ terms.
The $(r-1)^{\text {th }}$ term is $^{n} C_{r-2} a^{r-2},$ and its coefficient is $^n{C_{r - 2}}.$ Similarly, the coefficients of $r^{\text {th }}$ and $(r+1)^{\text {th }}$ terms are ${\,^n}{C_{r - 1}}$ and $^{n} C_{r},$ respectively.
Since the coefficients are in the ratio $1: 7: 42,$ so we have,
$\frac{{^n{C_{r - 2}}}}{{{\,^n}{C_{r - 1}}}} = \frac{1}{7},$ i.e., $n - 8r + 9 = 0$ ...........$(1)$
and $\frac{{{\,^n}{C_{r - 1}}}}{{{\,^n}{C_r}}} = \frac{7}{{42}},$ i.e., $n - 7r + 1 = 0$ ...........$(2)$
Solving equations $(1)$ and $(2),$ we get, $n=25$
${(a + b)^n}$ के विस्तार में चतुर्थ पद $56$ हो, तो $n$ का मान होगा
${\left( {ax - \frac{1}{{b{x^2}}}} \right)^{11}}$ के प्रसार में ${x^{ - 7}}$ का गुणांक होगा
$\left(2^{1 / 3}+\frac{1}{2(3)^{1 / 3}}\right)^{10}$ के द्विपद प्रसार में आरम्भ से $5$ वें तथा अंत से (प्रथम की ओर) $5$ वें पदों का एक अनुपात है
निम्नलिखित के प्रसार में व्यापक पद लिखिए
$\left(x^{2}-y x\right)^{12}, x \neq 0$
माना $\left(2 x^{\frac{1}{5}}-\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}\right)^{15}, x > 0$ के प्रसार में $x ^{-1}$ तथा $x ^{-3}$ के गुणांक क्रमश: $m$ तथा $n$ है। यदि धनात्मक पूर्णांक $r$ इस प्रकार है कि $m n^2={ }^{15} C _{ r } .2^{ r }$ है, तो $r$ का मान है।