यदि $(1+a)^{n}$ के प्रसार में तीन क्रमागत पदों के गुणांक $1: 7: 42$ के अनुपात में हैं तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।
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Suppose the three consecutive terms in the expansion of $(1+a)^{n}$ are $(r-1)^{ th }, r^{ th }$ and $(r+1)^{ th }$ terms.
The $(r-1)^{\text {th }}$ term is $^{n} C_{r-2} a^{r-2},$ and its coefficient is $^n{C_{r - 2}}.$ Similarly, the coefficients of $r^{\text {th }}$ and $(r+1)^{\text {th }}$ terms are ${\,^n}{C_{r - 1}}$ and $^{n} C_{r},$ respectively.
Since the coefficients are in the ratio $1: 7: 42,$ so we have,
$\frac{{^n{C_{r - 2}}}}{{{\,^n}{C_{r - 1}}}} = \frac{1}{7},$ i.e., $n - 8r + 9 = 0$ ...........$(1)$
and $\frac{{{\,^n}{C_{r - 1}}}}{{{\,^n}{C_r}}} = \frac{7}{{42}},$ i.e., $n - 7r + 1 = 0$ ...........$(2)$
Solving equations $(1)$ and $(2),$ we get, $n=25$
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माना कि $S=\{a+b \sqrt{2}: a, b \in Z \}, T_1=\left\{(-1+\sqrt{2})^n: n \in N \right\}$, और $T_2=\left\{(1+\sqrt{2})^n: n \in N \right\}$ हैं। तब निम्नलिखित कथनों में से कौन सा (से) सत्य है (हैं)?
$(A)$ $Z \cup T_1 \cup T_2 \subset S$
$(B)$ $T_1 \cap\left(0, \frac{1}{2024}\right)=\phi$, जहां $\phi$ रिक्त समुच्चय (empty set) को दर्शाता है।
$(C)$ $T_2 \cap(2024, \infty) \neq \phi$
$(D)$ किन्हीं दिये गए $a, b \in Z$ के लिए, $\cos (\pi(a+b \sqrt{2}))+i \sin (\pi(a+b \sqrt{2})) \in Z$ यदि और केवल यदि (if and only if) $b=0$, जहां $i=\sqrt{-1}$ है।
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