द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए गुणनफल $(1+2 x)^{6}(1-x)^{7}$ में $x^{5}$ का गुणांक ज्ञात कीजिए।
Using Binomial Theorem, the expressions, $(1+2 x)^{6}$ and $(1-x)^{7},$ can be expanded as
${(1 + 2x)^6} = {\,^0}{C_0} + {\,^0}{C_1}(2x) + {\,^0}{C_2}{(2x)^2} + {\,^0}{C_3}{(2x)^3} + {\,^0}{C_4}{(2x)^4} + {\,^0}{C_5}{(2x)^5} + {\,^0}{C_6}{(2x)^6}$
$=1+6(2 x)+15(2 x)^{2}+20(2 x)^{3}+15(2 x)^{4}+6(2 x)^{5}+(2 x)^{6}$
$=1+12 x+60 x^{2}+160 x^{3}+240 x^{4}+192 x^{5}+64 x^{6}$
${(1 - x)^7} = {\,^7}{C_0} - {\,^7}{C_1}(x) + {\,^7}{C_2}{(x)^2} - {\,^7}{C_3}{(x)^3}$
$ + {\,^7}{C_4}{(x)^4} - {\,^7}{C_5}{(x)^5} + {\,^7}{C_6}{(x)^6} - {\,^7}{C_7}{(x)^7}$
$=1-7 x+21 x^{2}-35 x^{3}+35 x^{4}-21 x^{5}+7 x^{6}-x^{7}$
$\therefore(1+2 x)^{6}(1-x)^{7}$
$=\left(1+12 x+60 x^{2}+160 x^{3}+240 x^{4}+192 x^{5}+64 x^{6}\right)$
$\left(1-7 x+21 x^{2}-35 x^{3}+35 x^{4}-21 x^{5}+7 x^{6}-x^{7}\right)$
The complete multiplication of the two brackets is not required to be carried out. Only those terms, which involve $x^{5},$ are required.
The terms containing $x^{5}$ are
$1\left(-21 x^{5}\right)+(12 x)\left(35 x^{4}\right)+\left(60 x^{2}\right)\left(-35 x^{3}\right)+\left(160 x^{3}\right)\left(21 x^{2}\right)$
$+\left(240 x^{4}\right)(-7 x)+\left(192 x^{5}\right)(1)$
$=171 x^{5}$
Thus, the coefficient of $x^{5}$ in the given product is $171 .$
यदि ${(a + b)^n}$ के प्रसार में $\frac{{{T_2}}}{{{T_3}}}$ व ${(a + b)^{n + 3}}$ के प्रसार में $\frac{{{T_3}}}{{{T_4}}}$ समान हैं, तब $n=$
${(1 + 3x + 2{x^2})^6}$ के प्रसार में ${x^{11}}$ का गुणांक है
यदि $\left(3^{1 / 2}+5^{1 / 8}\right)^{ n }$ के प्रसार में पूर्णाकीय पदों की संख्या मात्र $33$ है, तो $n$ का न्यूनतम मान है
$\left(1+x+x^{2}\right)^{10}$ के प्रसार में $x^{4}$ का गुणांक है
यदि $n$, बहुपद ${\left[ {\frac{1}{{\sqrt {5{x^3} + 1} - \sqrt {5{x^3} - 1} }}} \right]^8} $$+ {\left[ {\frac{1}{{\sqrt {5{x^3} + 1} + \sqrt {5{x^3} - 1} }}} \right]^8}$ की घात है, तथा $m$ इसमें स्थित $x ^{ n }$ का गुणांक है, तो क्रमित युग्म $( n , m )$ बराबर है $:$