$(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{6}-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{6}$ का मान ज्ञात कीजिए
Firstly, the expression $(a+b)^{6}-(a-b)^{6}$ is simplified by using Binomial Theorem.This can be done as
${(a + b)^6} = {\,^6}{C_0}{a^6} + {\,^6}{C_1}{a^5}b + {\,^6}{C_2}{a^4}{b^2} + {\,^6}{C_3}{a^3}{b^3} + {\,^6}{C_4}{a^2}{b^4} + {\,^6}{C_5}{a^1}{b^5} + {\,^6}{C_6}{b^6}$
$=a^{6}+6 a^{5} b+15 a^{4} b^{2}+20 a^{3} b^{3}+15 a^{2} b^{4}+6 a b^{5}+b^{6}$
${(a - b)^6} = {\,^6}{C_0}{a^6} - {\,^6}{C_1}{a^5}b + {\,^6}{C_2}{a^4}{b^2} - {\,^6}{C_3}{a^3}{b^3} + {\,^6}{C_4}{a^2}{b^4} - {\,^6}{C_5}{a^1}{b^5} + {\,^6}{C_6}{b^6}$
$=a^{6}-6 a^{5} b+15 a^{4} b^{2}-20 a^{3} b^{3}+15 a^{2} b^{4}-6 a b^{5}+b^{6}$
$\therefore(a+b)^{6}-(a-b)^{6}=2\left[6 a^{5} b+20 a^{3} b^{3}+6 a b^{5}\right]$
Putting $a=\sqrt{3}$ and $b=\sqrt{2},$ we obtain
$(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{6}-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{6}=2\left[6(\sqrt{3})^{5}(\sqrt{2})+20(\sqrt{3})^{3}(\sqrt{2})^{3}+6(\sqrt{3})(\sqrt{2})^{5}\right]$
$=2[54 \sqrt{6}+120 \sqrt{6}+24 \sqrt{6}]$
$=2 \times 198 \sqrt{6}$
$=396 \sqrt{6}$
${\left( {x - \frac{1}{{2x}}} \right)^8}$ के विस्तार में ${x^2}$ का गुणांक होगा
माना $\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$ की बढ़ती घातों में $\left(\sqrt[4]{2}+\frac{1}{\sqrt[4]{3}}\right)^n$ के द्विपद प्रसार में आरंभ से पाँचवें पद का अन्त से पाँचवें पद से अनुपात $\sqrt[4]{6}: 1$ है। यदि आरंभ से छठा पद $\frac{\alpha}{\sqrt[4]{3}}$ है, तो $\alpha$ बराबर है $...........$
यदि ${\left( {{x^4} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)^{15}}$ के विस्तार में $r$ वें पद में ${x^4}$ आता है, तो $r = $
${(1 + 3x + 2{x^2})^6}$ के प्रसार में ${x^{11}}$ का गुणांक है
${\left( {{x^2} - \frac{1}{x}} \right)^9}$ के प्रसार में $x$ से स्वतंत्र पद होगा