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अतिपरवलय $2{x^2} + 5xy + 2{y^2} + 4x + 5y = 0$ की अनन्तस्पर्शियों का संयुक्त समीकरण है
$2{x^2} + 5xy + 2{y^2} = 0$
$2{x^2} + 5xy + 2{y^2} - 4x + 5y + 2 = 0$
$2{x^2} + 5xy + 2{y^2} + 4x + 5y - 2 = 0$
$2{x^2} + 5xy + 2{y^2} + 4x + 5y + 2 = 0$
Solution
(d) अतिपरवलय का समीकरण $2{x^2} + 5xy + 2{y^2} + 4x + 5y = 0$ तथा अनंतस्पर्श का समीकरण है,
$2{x^2} + 5xy + 2{y^2} + 4x + 5y + \lambda = 0$ .….$(i)$
जो कि रेखायुग्म का समीकरण है। हम जानते हैं कि रेखायुग्म का मानक समीकरण $a{x^2} + 2hxy + b{y^2} + 2gx + 2fy + c = 0$ होता है।
समीकरण $(i)$ की मानक समीकरण से तुलना करने पर,
$a = 2,\,b = 2,$ $\,h = \frac{5}{2},\,g = 2,\,f = \frac{5}{2}$ तथा $c = \lambda .$
हम जानते हैं कि रेखायुग्म होने की शर्त है, $abc + 2fgh – a{f^2} – b{g^2} – c{h^2} = 0.$
$\therefore $ $4\lambda + 25 – \frac{{25}}{2} – 8 – \frac{{25}}{4}\lambda = 0$
$ – \frac{{9\lambda }}{4} + \frac{9}{2} = 0$
$\lambda = 2$, समीकरण $(i)$ में $\lambda $ का मान रखने पर,
$2{x^2} + 5xy + 2{y^2} + 4x + 5y + 2 = 0$.
Similar Questions
माना कि $H: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, जहाँ $a>b>0, x y$ – समतल (plane) में एक ऐसा अतिपरवलय (hyperbola) है जिसका संयुग्मी अक्ष (conjugate axis) $L M$ उसके एक शीर्ष (vertex) $N$ पर $60^{\circ}$ का कोण (angle) अंतरित (subtend) करता है। माना कि त्रिभुज (triangle) $L M N$ का क्षेत्रफल (area) $4 \sqrt{3}$ है।
| सूची – $I$ | सूची – $II$ |
| $P$ $H$ के संयुग्मी अक्ष की लम्बाई है | $1$ $8$ |
| $Q$ $H$ की उत्केन्द्रता (eccentricity) है | $2$ ${\frac{4}{\sqrt{3}}}$ |
| $R$ $H$ की नाभियों (foci) के बीच की दूरी है | $3$ ${\frac{2}{\sqrt{3}}}$ |
| $S$ $H$ के नाभिलम्ब जीवा (latus rectum) की लम्बाई है | $4$ $4$ |
दिए हुए विकल्पों मे से सही विकल्प है:
