प्रतिबंधों को संतुष्ट करते हुए अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए
नाभियाँ $(±4,0)$, नाभिलंब जीवा की लंबाई $12$ है।
प्रतिबंधों को संतुष्ट करते हुए अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए
नाभियाँ $(±4,0)$, नाभिलंब जीवा की लंबाई $12$ है।
Foci $(\pm 4,\,0),$ the latus rectum is of length $12$
Here, the foci are on the $x-$ axis.
Therefore, the equation of the hyperbola is of the form $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
since the foci are $(\pm 4,\,0)$, $c=4$
Length of latus rectum $=12$
$\Rightarrow \frac{2 b^{2}}{a}=12$
$\Rightarrow b^{2}=6 a$
We know that $a^{2}+b^{2}=c^{2}$
$\therefore a^{2}+6 a=16$
$\Rightarrow a^{2}+6 a-16=0$
$\Rightarrow a^{2}+8 a-2 a-16=0$
$\Rightarrow(a+8)(a-2)=0$
$\Rightarrow a=-8,2$
since a is non-negative, $a=2$
$\therefore b^{2}=6 a=6 \times 2=12$
Thus, the equation of the hyperbola is $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{12}=1$
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माना अतिपरवलय $H : \frac{ x ^2}{ a ^2}-\frac{ y ^2}{ b ^2}=1$, बिंदु $(2 \sqrt{2},-2 \sqrt{2})$ से होकर जाता है। एक परवलय खींचा जाता है जिसकी नाभि, $H$ की धनात्मक भुज वाली नाभि पर है तथा परवलय की नियता $H$ की दूसरी नाभि से होकर जाती है। यदि परवलय की नाभि लंब जीवा की लंबाई, $H$ की नाभि लंब जीवा की लंबाई का $e$ गुना है, जहाँ $e$, $H$ की उत्केन्द्रता है, तो निम्न में से कौन सा बिंदु परवलय पर है ?
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- [JEE MAIN 2022]
उस अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी नाभियाँ $(0,±12)$ और नाभिलंब जीवा की लंबाई $36$ है।
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यदि $e _{1}$ तथा $e _{2}$ क्रमशः दीर्घवृत्त $\frac{ x ^{2}}{18}+\frac{ y ^{2}}{4}=1$ तथा अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}=1$ की उत्केंद्रताएँ है तथा $\left( e _{1}, e _{2}\right)$ दीर्घवृत्त $15 x ^{2}+3 y ^{2}= k$ पर स्थित एक बिन्दु है, तो $k$ का मान है
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- [JEE MAIN 2020]
अतिपरवलय जिसकी नाभियाँ $(6, 4)$ तथा $(-4, 4)$ हैं तथा उत्केन्द्रता $2$ हो, का समीकरण है
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अतिपरवलय $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ के सहायक वृत्त का समीकरण है
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