સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં પહેલા અને ચોથા પદ વચ્ચેન | vedclass

Name: PDF Generator App | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

Let $a,ar,a{r^2},a{r^3},a{r^4},a{r^5}$ be six terms of a $G.P.$ where 'a' is first term andr is  common ratio.

According to given

Vedclass · Accepted Answer

$728$

Vedclass · Answer

Let $a,ar,a{r^2},a{r^3},a{r^4},a{r^5}$ be six terms of a $G.P.$ where 'a' is first term andr is  common ratio.

According to given condition, we have 

$a{r^3} - a = 5 \Rightarrow a\left( {{r^3} - 1} ight) = 52\,\,\,\,......\left( 1 ight)$

and $a + ar + a{r^2} = 26$

$ \Rightarrow a\left( {1 + r + {r^2}} ight) = 26\,\,\,\,\,\,......\left( 2 ight)$

To find : $a\left( {1 + r + {r^2} + {r^3} + {r^4} + {r^5}} ight)$

Consider

$a\left[ {1 + r + {r^2} + {r^3} + {r^4} + {r^5}} ight]$

$ = a\left[ {1 + r + {r^2} + {r^3}\left( {1 + r + {r^2}} ight)} ight]$

$ = a\left[ {1 + r + {r^2}} ight]\left[ {1 + {r^3}} ight]\,\,\,\,\,\,......\left( 3 ight)$

Divide $(1)$ by $(2)$, we get

$\frac{{{r^3} - 1}}{{1 + r + {r^2}}} = 2$

we know ${r^3} - 1 = \left( {1 + {r^3}} ight)\left( {1 + r + {r^2}} ight)$

$	herefore r - 1 = 2 \Rightarrow r = 3\,\,\,\,$  and $a = 2$

$	herefore a\left( {1 + r + {r^2} + {r^3} + {r^4} + {r^5}} ight)$

$ = a\left( {1 + r + {r^2}} ight)\left( {1 + {r^3}} ight)$

$ = 2\left( {1 + 3 + 9} ight)\left( {1 + 27} ight)$

$ = 26 	imes 28 = 728$

Similar Questions

એક સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં ચોથા, સાતમા અને દસમા પદ અનુક્રમે $a, b, c$ હોય, તો.........

જો સમગુણોત્તર શ્રેણીનું પહેલું પદ $1$ અને તેના ત્રીજા અને પાંચમાં પદોનો સરવાળો $90$ હોય તો સામાન્ય ગુણોત્તર મેળવો.

$2^{\frac{1}{4}} \cdot 4^{\frac{1}{16}} \cdot 8^{\frac{1}{48}} \cdot 16^{\frac{1}{128}} \cdot \ldots .$ to $\infty$ ની કિમંત મેળવો.

જો $b_1, b_2,......, b_n$ એ સંગુણોત્તર શ્રેઢી એવી છે કે જેથી $b_1 + b_2 = 1$ અને $\sum\limits_{k = 1}^\infty {{b_k} = 2} $ જ્યાં $b_2 < 0$ ,હોય તો $b_1$ ની કિમત મેળવો