જો $\frac{a+b x}{a-b x}=\frac{b+c x}{b-c x}=\frac{c+d x}{c-d x}(x \neq 0),$ તો સાબિત કરો કે $a,b,c$ અને $d$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે. 

Vedclass pdf generator app on play store
Vedclass iOS app on app store

It is given that,

$\frac{a+b x}{a-b x}=\frac{b+c x}{b-c x}$

$\Rightarrow(a+b x)(b-c x)=(b+c x)(a-b x)$

$\Rightarrow a b-a c x+b^{2} x-b c x^{2}=a b-b^{2} x+a c x-b c x^{2}$

$\Rightarrow 2 b^{2} x=2 a c x$

$\Rightarrow b^{2}=a c$

$\Rightarrow \frac{b}{a}=\frac{c}{b}$          .........$(1)$

Also, $\frac{b+c x}{b-c x}=\frac{c+d x}{c-d x}$

$\Rightarrow(b+c x)(c-d x)=(b-c x)(c+d x)$

$\Rightarrow b c-b d x+c^{2} x-c d x^{2}=b c+b d x-c^{2} x-c d x^{2}$

$\Rightarrow 2 c^{2} x=2 b d x$

$\Rightarrow c^{2}=b d$

$\Rightarrow \frac{c}{d}=\frac{d}{c}$       .........$(2)$

From $(1)$ and $(2),$ we obtain

$\frac{b}{a}=\frac{c}{b}=\frac{d}{c}$

Thus, $a, b, c$ and $d$ are in $G.P.$

Similar Questions

સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં નિર્દેશિત પદોનો સરવાળો શોધો : ${{x^3},{x^5},{x^7}, \ldots }$  પ્રથમ $n$ પદ

જો એક સમગુણોતર શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદનો સરવાળો $S$,ગુણાકાર $P$ અને શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદનાં વ્યસ્તનો સરવાળો $R$ હોય તો $P^2 = ……$

સમગુણોત્તર શ્રેણી $\frac{5}{2}, \frac{5}{4}, \frac{5}{8}, \ldots$ નું $20$ મું પદ તથા $n$મું પદ શોધો.

અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણીના પદોનો સરવાળો $3$ અને તેમના વર્ગનો સરવાળો પદ $3$ થાય, તો શ્રેણીનું પ્રથમ પદ અને સામાન્ય ગુણોત્તર કેટલો થાય?

જો $f(\theta)=\frac{\sin ^4 \theta+3 \cos ^2 \theta}{\sin ^4 \theta+\cos ^2 \theta}, \theta \in \mathbb{R}$ નો વિસ્તાર $[\alpha, \beta]$ હોય, તો જેનું પ્રથમ પદ $64$ હોય અને સામાન્ય ગુણોત્તર $\frac{\alpha}{\beta}$ હોય તેવી અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો ............ છે. 

  • [JEE MAIN 2024]