$m$ द्रव्यमान के एक पिण्ड को $2R$ त्रिज्या की कक्षा से $3R$ त्रिज्या की कक्षा में भेजने के लिए आवश्यक ऊर्जा है ($R =$ पृथ्वी की त्रिज्या)

प्रत्येक द्रव्यमान $3 \times 10^{31} \,kg$ वाले दो तारों के मध्य दूरी $2 \times 10^{11}\, m$ है। ये उभयनिष्ठ द्रव्यमान केन्द्र $O$ के सापेक्ष एक तल में घूर्णन करते हैं। एक उल्का पिण्ड तारे के घूर्णन तल के लम्बवत् गतिशील होकर $O$ से गुजरता है। इस द्वितारे के गुरूत्वाकर्षण क्षेत्र से पलायन के लिये $O$ पर उल्कापिण्ड की न्यूनतम चाल क्या होनी चाहिये ? (गुरूत्वाकर्षण नियतांक $G =6.67 \times 10^{-11}\, Nm ^{2} kg ^{-2}$ )

पृथ्वी के चारों ओर $R _0$ त्रिज्या के एक वृत्तीय कक्ष में घूम रहे एक उपग्रह की चाल $v _0$ है। एक दूसरा उपग्रह पृथ्वी के चारों ओर एक दीर्घवृत्तीय (elliptical) कक्ष में घूम रहा है। यदि दूसरे उपग्रह की न्यूनतम एवं अधिकतम चाले क्रमशः $\alpha v _0$ एवं $\beta v _0$ हैं, तब उसका आवर्त काल क्या होगा?

$m$ द्रव्यमान के पिण्ड को पृथ्वी तल से अनन्त में प्रक्षेपित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा है, ($R =$ पृथ्वी की त्रिज्या)

सही विकल्प का चयन कीजिए :

$(a)$ बढ़ती तुंगता के साथ गुरुत्वीय त्वरण बढ़ता/घटता है।

$(b)$ बढ़ती गहराई के साथ (पृथ्वी को एकसमान घनत्व को गोला मानकर) गुरुत्वीय त्वरण बढ़ता/घटता है।

$(c)$ गुरुत्वीय त्वरण पृथ्वी के द्रव्यमान/पिण्ड के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता।

$(d)$ पृथ्वी के केन्द्र से $r_{2}$ तथा $r_{1}$ दूरियों के दो बिन्दुओं के बीच स्थितिज ऊर्जा-अन्तर के लिए सूत्र $-G M m\left(1 / r_{2}-1 / r_{1}\right)$ सूत्र $m g\left(r_{2}-r_{1}\right)$ से अधिक/कम यथार्थ है।