$m$ द्रव्यमान का एक उपग्रह किसी $M$ द्रव्यमान के ग्रह की परिक्रमा $R_{1}$ त्रिज्या की वृत्तीय कक्षा में कर रहा है। इसकी कक्षा की त्रिज्या को $R_{2}$ करने के लिये $\left(R_{2}>R_{1}\right)$ उपग्रह को दी जाने वाली अतिरिक्त गतिज ऊर्जा होगी

प्रत्येक द्रव्यमान $m$ वाले चार गोले मिलकर चित्रानुसार भुजा $d$ वाला एक वर्ग बनाते है। एक द्रव्यमान $M$ का पांचवा गोला वर्ग के केन्द्र पर रिथत है। इस निकाय की कुल गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा होगी-

कोई उपग्रह पृथ्वी के पृष्ठ से $400\, km$ ऊंचाई पर पृथ्वी की परिक्रमा कर रहा है। इस उपग्रह को पृथ्वी के गुरुत्वीय प्रभाव से बाहर निकालने में कितनी ऊर्जा खर्च होगी ? उपग्रह का द्रव्यमान =$ 200\, kg$ : पृथ्वी का द्रव्यमान $=6.0 \times 10^{24}\, kg:$ पृथ्वी की त्रिज्या $=6.4 \times 10^{6}\, m$ तथा $G=6.67 \times 10^{-11}\, N\, m ^{2}\, kg ^{-2}$ ।

किसी ग्रह जिसका द्रव्यमान $M$ तथा क्रिज्या $R$ है से $2 R$ ऊँचाई पर वृतीय कक्ष में एक उपग्रह जिसका द्रव्यमान $m$ है को प्रमोंचन के लिये छोड़ने के लिये आवश्यक न्यूनतम ऊर्जा कितनी होगी ?

दो तारे, जिनमें प्रत्येक का द्रब्यमान सूर्य के द्रव्यमान $\left(2 \times 10^{20} kg \right)$ के बराबर है, एक दूसरे की ओर सम्मुख टक्कर के लिए आ रहे हैं। जब वे $10^{9} km$ दूरी पर हैं तब इनकी चाल उपेक्षणीय हैं। ये तारे किस चाल से टकराएंगे ? प्रत्येक तारे की त्रिज्या $10^{4} km$ है। यह मानिए कि टकराने के पूर्व तक तारों में कोई विरूपण नहीं होता ( $G$ के ज्ञात मान का उपयोग कीजिए )।