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समीकरण $\mathrm{e}^{4 \mathrm{x}}+8 \mathrm{e}^{3 \mathrm{x}}+13 \mathrm{e}^{2 \mathrm{x}}-8 \mathrm{e}^{\mathrm{x}}+1=0, \mathrm{x} \in \mathbb{R}:$
के दो हल हैं तथा दोनों ऋणात्मक है
का कोई हल नहीं है
के चार हल हैं जिनमें से दो ऋणात्मक है
के दो हल हैं तथा उनमें से केवल एक ॠणात्मक है
Solution
$e^{4 x}+8 e^{3 x}+13 e^{2 x}-8 e^x+1=0$
Let $e^x=t$
Now, $t^4+8 t^5+13 t^2-8 t+1=0$
Dividing equation by $t ^2$,
$t^2+8 t+13-\frac{8}{t}+\frac{1}{t^2}=0$
$t^2+\frac{1}{t^2}+8\left(t-\frac{1}{t}\right)+13=0$
$\left(t-\frac{1}{t}\right)^2+2+8\left(t-\frac{1}{t}\right)+13=0$
Let $t-\frac{1}{t}=z$
$z^2+8 z+15=0$
$(z+3)(z+5)=0$
$z=-3 \text { or } z=-5$
So, $t -\frac{1}{ t }=-3$ or $t -\frac{1}{ t }=-5$
$t^2+3 t-1=0 \text { or } t^2+5 t-1=0$
$t=\frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2} \text { or } t =\frac{-5 \pm \sqrt{29}}{2}$
as $t = e ^{ x }$ so $t$ must be positive,
$t=\frac{\sqrt{13}-3}{2} \text { or } \frac{\sqrt{29}-5}{2}$
So, $x=\ln \left(\frac{\sqrt{13}-3}{2}\right)$ or $x=\ln \left(\frac{\sqrt{29}-5}{2}\right)$
Hence two solution and both are negative.