समीकरण e ^{4 x }+4 e ^{3 x }-58 e ^{2 x }+4 e ^{ x }+1=0 के वास्तविक

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4-2.Quadratic Equations and Inequations

hard

समीकरण $e ^{4 x }+4 e ^{3 x }-58 e ^{2 x }+4 e ^{ x }+1=0$ के वास्तविक हलों की संख्या है $............$

$6$

$9$

$20$

$2$

(JEE MAIN-2022)

Solution

$e^{4 x}+4 e^{3 x}-58 e^{2 x}+4 e^{x}+1=0$

Let $f(x)=e^{2 x}\left(e^{2 x}+\frac{1}{e^{2 x}}+4\left(e^{x}+\frac{1}{e^{x}}\right)-58\right)$

$e^{x}+\frac{1}{e^{x}}$

Let $h(t)=t^{2}+4 t-58=0$

$t =\frac{-4 \pm \sqrt{16+4.58}}{2}$

$\frac{-4 \pm 2 \sqrt{62}}{2}$

$t _{1}=-2+2 \sqrt{62}$

$t _{2}=-2-2 \sqrt{62}$ (not possible)

$t \geq 2$

$e ^{ x }+\frac{1}{ e ^{ x }}=-2+2 \sqrt{62}$

$e ^{2 x }-(-2+2 \sqrt{62}) e ^{ x }+1=0$

$(-2+2 \sqrt{62})-4$

$4+4.62-8 \sqrt{62}-4$

$248-8 \sqrt{62}>0$

$\frac{- b }{2 a }>0$

both roots are positive

$2$ real roots

Standard 11

Mathematics

यदि $x$ वास्तविक है, तो व्यंजक $\frac{{{x^2} + 14x + 9}}{{{x^2} + 2x + 3}}$ के अधिकतम एवं न्यूनतम मान होंगे

hard

समीकरण $pq{x^2} – {(p + q)^2}x + {(p + q)^2} = 0$ का हल समुच्चय है

medium

मान लें कि $x, y, z$ धनात्मक संख्याएँ इस प्रकार हैं कि $HCF (x, y, z)=1$ तथा $x^2+y^2=2 z^2$. तब निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है ?

$I$. $4,{ }^x$ को विभाजित करता है या $4, y$ को विभाजित करता है।

$II$. $3,{ }^{x+y}$ को विभाजित करता है या $3, x-y$ को विभाजित करता है।

$III$. $5,2\left(x^2-y^2\right)$ को विभाजित करता है।

normal

(KVPY-2017)

यदि $a \in R$ तथा समीकरण $-3(x-[x])^{2}+2(x-[x])+a^{2}=0$

( जहाँ $[x]$ उस बड़े से बड़े पूर्णांक को दर्शाता है जो $\leq \, x$ है) का कोई पूर्णांकीय हल नहीं है, तो $a$ के सभी संभव मान जिस अंतराल में स्थित हैं, वह है:

hard

(JEE MAIN-2014)

यदि वास्तविक संख्याएँ $a, b, c$ इस प्रकार है कि $a+b+c=0$ तथा $a^2+b^2+c^2=1$, तब $(3 a+5 b-8 c)^2+(-8 a+3 b+5 c)^2+(5 a-8 b+3 c)^2$ निम्नलिखित के बराबर है

normal

(KVPY-2017)

समीकरण $e ^{4 x }+4 e ^{3 x }-58 e ^{2 x }+4 e ^{ x }+1=0$ के वास्तविक हलों की संख्या है $............$

Solution

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