यदि समीकरण ${x^3} + px + q = 0$ के मूल $\alpha ,\beta $ और $\gamma $ हों तो ${\alpha ^3} + {\beta ^3} + {\gamma ^3}$ का मान होगा

माना समीकरण $\mathrm{x}^7+3 \mathrm{x}^5-13 \mathrm{x}^3-15 \mathrm{x}=0$ के मूल $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_7$ हैं तथा $\left|\alpha_1\right| \geq\left|\alpha_2\right| \geq \ldots \geq\left|\alpha_7\right|$ हैं तो $\alpha_1 \alpha_2-\alpha_3 \alpha_4+\alpha_5 \alpha_6$ बराबर है____________. 

यदि समीकरण $x^2-x-1=0$ के मूल $\alpha, \beta$ है तथा $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=2023 \alpha^{\mathrm{n}}+2024 \beta^n$ है, तो

यदि $\alpha$ तथा $\beta$, समीकरण $x ^{2}+(3)^{1 / 4} x +3^{1 / 2}=0$ के दो भिन्न मूल हैं, तो $\alpha^{96}\left(\alpha^{12}-1\right)+\beta^{96}\left(\beta^{12}-1\right)$ का मान बराबर है

यदि $\alpha ,\beta $ समीकरण ${x^2} + (3 – \lambda )x – \lambda  = 0$  के मूल हों, तो $\lambda $ के किस मान के लिये ${\alpha ^2} + {\beta ^2}$ का मान न्यूनतम होगा