उस वृत्त का समीकरण जो वृत्त {x^2} + {y^2} + 14x + 6y + 2

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10-1.Circle and System of Circles

hard

उस वृत्त का समीकरण जो वृत्त ${x^2} + {y^2} + 14x + 6y + 2 = 0$ को लम्बवत् प्रतिच्छेदित करता है और जिसका केन्द्र $(0, 2)$ है, है

A

${x^2} + {y^2} - 4y - 6 = 0$

B

${x^2} + {y^2} + 4y - 14 = 0$

C

${x^2} + {y^2} + 4y + 14 = 0$

D

${x^2} + {y^2} - 4y - 14 = 0$

Solution

(d) दिए गए वृत्त ${x^2} + {y^2} + 14x + 6y + 2 = 0$ में

$g = 7,\;f = 3,\;c = 2$ है।

दूसरे वृत्त का केन्द्र $( – g,\; – f) = (0,\;2)$, (दिया है)

लाम्बिक प्रतिच्छेदन के लिये, $2gg' + 2ff' = c + c'$

$0 – 12 = 2 + c' \Rightarrow c' = – 14$

यह मान समीकरण ${x^2} + {y^2} + 2g'x + 2f'x + c' = 0$ में रखने पर,

$ \Rightarrow {x^2} + {y^2} + 0 – 4y – 14 = 0 $

$\Rightarrow {x^2} + {y^2} – 4y – 14 = 0$.

Standard 11

Mathematics

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यदि वृत्तों ${x^2} + {y^2} + 2ax + cy + a = 0$ और ${x^2} + {y^2} – 3ax + dy – 1 = 0$ दो भिन्न बिन्दुओं $P$ व $Q$ पर प्रतिच्छेद करते हैं, तब रेखा $5x + by – a = 0$ $P$ व $Q$ से गुजरेगी

hard

(AIEEE-2005)

यदि वृत्त ${x^2} + {y^2} + 2x + 2ky + 6 = 0$ तथा ${x^2} + {y^2} + 2ky + k = 0$ परस्पर समकोण पर काटते हैं, तो $k$ का मान है

medium

(IIT-2000)

यदि वृत्त ${x^2} + {y^2} + 6x – 2y + k = 0$ वृत्त ${x^2} + {y^2} + 2x – 6y – 15 = 0$ की परिधि को समद्विभाजित करता है, तो $k$ का मान है

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यदि वृत्त $x^2+y^2+6 x+8 y+16=0$ तथा $x ^2+ y ^2+2(3-\sqrt{3}) x + x +2(4-\sqrt{6}) y$ $= k +6 \sqrt{3}+8 \sqrt{6}, k > 0$ बिंदु $P (\alpha, \beta)$ पर अंत: स्पर्श करते हैं, तो $(\alpha+\sqrt{3})^2+(\beta+\sqrt{6})^2$ बराबर है $…………..$

normal

(JEE MAIN-2022)

अनुच्छेद में दी गई जानकारी के आधार पर सूचियों का उचित मिलान करके प्रश्न का उत्तर दें। माना कि वृत्त (circle) $C_1: x^2+y^2=9$ और वृत्त $C_2:(x-3)^2+(y-4)^2=16$ एक दूसरे को बिन्दुओं $X$ और $Y$ पर काटते हैं। माना लीजिये एक और वृत्त $C _3:( x – h )^2+( y – k )^2= r ^2$ निम्नलिखित शर्तों को संतुष्ट करता है :

$(i)$ $C _3$ का केंद्र (centre) $C _1$ और $C _2$ के केन्द्रों के सरेख (Collinear) है।

$(ii)$ $C _1$ और $C _2$ दोनों $C _3$ के अन्दर हैं और

$(iii)$ $C _3, C _1$ को $M$ और $C _2$ को $N$ पर स्पर्श करता है।

माना कि $X$ और $Y$ से होकर जाने वाली रेखा $C _3$ को $Z$ और $W$ पर काटती है तथा $C _1$ और $C _3$ की एक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा (Common tangent) परवलय $x ^2=8 \alpha y$ की स्पर्श रेखा है।

सूची-$I$($List-I$) में कुछ व्यंजक (expression) हैं जिनका मान नीचे दी गयी सूची-$II$($List-II$) में है

$List-I$ $List-II$

$(I)$ $2 h + k$ $(P)$ $6$

$(II)$ $ZW$ की लंबाई \ $XY$ की लंबाई $(Q)$ $\sqrt{6}$

$(III)$ त्रिभुज $MZN$ का क्षेत्र फल $ZMW$ $(R)$ $\frac{5}{4}$

$(IV)$ $\alpha$ $(S)$ $\frac{21}{5}$

$(T)$ $2 \sqrt{6}$

$(U)$ $\frac{10}{3}$

($1$) निम्न में से कौन सा एकमात्र संयोजन गलत है ?

$(1) (IV), (S)$ $(2) (IV), (U)$ $(3) (III), (R)$ $(4) (I), (P)$

($2$) निम्न में से कौन सा एकमात्र संयोजन सही है ?

$(1) (II), (T)$ $(2) (I), (S)$ $(3) (I), (U)$ $(4) (II), (Q)$

Give the answer or quetion ($1$) and ($2$)

hard

(IIT-2019)