यदि अतिपरवलय की नाभियाँ $(5, 0)$ तथा $(-5, 0)$ और संयुग्मी अक्ष $8$ हो, तो अतिपरवलय का समीकरण होगा

बिन्दुओं $(3, 0)$ तथा $(3\sqrt 2 ,\;2)$ से गुजरने वाले अतिपरवलय की उत्केन्द्रता होगी

अतिपरवलय $16{x^2} - 9{y^2} = $ $144$ का नाभिलम्ब है

वक्रों $C _1: \frac{ x ^2}{4}+\frac{ y ^2}{9}=1$ तथा $C _2: \frac{ x ^2}{42}-\frac{ y ^2}{143}=1$ की एक ऊभयनिष्ठ स्पर्श रेखा $T$ चतुर्थ चतुर्थाश से होकर नहीं जाती। यदि $T$ वक्र $C _1$ को $\left( x _1, y _1\right)$ पर तथा वक्र $C _2$ को $\left( x _2, y _2\right)$ पर स्पर्श करती है, तो $\left|2 x _1+ x _2\right|$ बराबर है $..........$

माना परवलय $y^2=12 x$ के बिंदु $(3, \alpha)$ पर स्पर्श रेखा, रेखा $2 x+2 y=3$ के लंबवत है। तो बिंदु $(6,-4)$ की, अतिपरवलय $\alpha^2 x^2-9 y^2=9 \alpha^2$ के बिंदु $(\alpha-1, \alpha+2)$ पर अभिलंब से दूरी का वर्ग है

एक अतिपरवलय $H$ के शीर्ष $( \pm 6,0)$ है, तथा उत्केन्द्रता $\frac{\sqrt{5}}{2}$ है। माना प्रथम चतुर्थांश में $\mathrm{H}$ के एक बिन्दु पर रेखा $\sqrt{2} \mathrm{x}+\mathrm{y}=2 \sqrt{2}$ के समान्तर अभिलम्ब $\mathrm{N}$ है। यदि $\mathrm{N}$ के $\mathrm{H}$ तथा $\mathrm{y}$-अक्ष के बीच रेखाखंड की लम्बाई $\mathrm{d}$ है, तो $\mathrm{d}^2$ बराबर है_____________.