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10-2. Parabola, Ellipse, Hyperbola
medium
एक अतिपरवलय, $\frac{ x ^{-}}{25}+\frac{ y ^{2}}{16}=1$ की नाभियों से होकर जाता है तथा इसके अनुप्रस्थ और संयुग्मी अक्ष क्रमश: दीर्घवत के दीर्घ और अल्प अक्षों के समरूप हैं। यदि उनकी उत्केन्द्रताओं का गुणनफल एक है, तो अतिपरवलय का समीकरण है
A
$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{25}=1$
B
$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$
C
$x^{2}-y^{2}=9$
D
$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}=1$
(JEE MAIN-2021)
Solution
For ellipse $e_{1}=\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\frac{3}{5}$
for hyperbola $e _{2}=\frac{5}{3}$
Let hyperbola be
$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
$\because$ it passes through $(3,0) \Rightarrow \frac{9}{a_{2}}=1$
$\Rightarrow a ^{2}=9$
$\Rightarrow b ^{2}= a ^{2}\left( e ^{2}-1\right)$
$=9\left(\frac{25}{9}-1\right)=16$
$\therefore$ Hyperbola is $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$
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