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वृत्त ${x^2} + {y^2} = 4$ के उन स्पर्शियों के समीकरण जो कि $x + 2y + 3 = 0$ के समान्तर हैं, हैं
$x - 2y = 2$
$x + 2y = \pm \,2\sqrt 3 $
$x + 2y = \pm \,2\sqrt 5 $
$x - 2y = \pm \,2\sqrt 5 $
Solution
(c) ट्रिक : केवल विकल्प $(b)$ तथा $(c)$ की रेखायें $x + 2y + 3 = 0$ के समान्तर हैं।
अभीष्ट रेखा वृत्त ${x^2} + {y^2} = 4$ की स्पर्षी भी है।
इसकी दूरी $(0, 0)$ से $2$ है।
अत: विकल्प $(c)$ सही है।
वैकल्पिक विधि :
${x^2} + {y^2} = 4$ का केन्द्र $(0, 0)$ है।
$x + 2y + 3 = 0$ के समान्तर स्पर्षी का समीकरण है $x + 2y + \lambda = 0$…..$(i)$
$(0,0)$ से $x + 2y + \lambda = 0$ की लाम्बिक दूरी वृत्त की त्रिज्या के बराबर होगी।
(दिया है, त्रिज्या = $2$)
$\therefore $ $\frac{{0 + 2 \times \,0 + \lambda }}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = \, \pm \,2$
$\lambda \, = \pm \,2\sqrt 5 $
$\lambda \,$का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर,
वृत्त की स्पर्शियों के समीकरण $x + 2y = \, \pm \,2\sqrt 5 $ हैं,
अत: विकल्प $(c)$ सही है।
