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वृत्त ${x^2} + {y^2} = {a^2}$ की स्पर्श रेखा का समीकरण जो अक्षों के साथ ${a^2}$ क्षेत्रफल का त्रिभुज बनाती है, होगा
$x \pm y = a\sqrt 2 $
$x \pm y = \pm a\sqrt 2 $
$x \pm y = 2a$
$x + y = \pm 2a$
Solution
(b) माना स्पर्षी $\frac{x}{{{x_1}}} + \frac{y}{{{y_1}}} = 1$ है एवं अक्षों के साथ बने त्रिभुज का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2}{x_1}{y_1} = {a^2}$ …$.(i)$
पुन: ${y_1}x + {x_1}y – {x_1}{y_1} = 0$
स्पर्षी के प्रतिबन्ध से,$\left| {\frac{{ – {x_1}{y_1}}}{{\sqrt {x_1^2 + y_1^2} }}} \right|\; = a$ या $(x_1^2 + y_1^2) = \frac{{x_1^2y_1^2}}{{{a^2}}}$….$(ii)$
$(i)$ व $(ii)$ से, ${x_1},{y_1}$ प्राप्त होते हैं।
अत: स्पर्षी $x \pm y = \pm {\rm{ }}a\sqrt 2 $ है।
ट्रिक : स्पष्टत: $4$ स्पर्शियाँ हो सकती है (चित्रानुसार)। चूँकि रेखायें $x \pm y = \pm {\rm{ }}a\sqrt 2 $सभी चतुर्थांशों में $a$ क्षेत्रफल का त्रिभुज बनाती है।
