किसी गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद $1$ है। तीसरे एवं पाँचवें पदों का योग $90$ हो तो गुणोत्तर श्रेणी का सार्व अनुपात ज्ञात कीजिए।
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Let $a$ and $r$ be the first term and the common ratio of the $G.P.$ respectively.
$\therefore $ $a=1$ $a_{3}=a r^{2}=r^{2} \quad a_{5}=a r^{4}=r^{4}$
$\therefore r^{2}+r^{4}=90$
$\Rightarrow r^{4}+r^{2}-90=0$
$\Rightarrow r^{2}=\frac{-1+\sqrt{1+360}}{2}=\frac{-1 \pm \sqrt{361}}{2}=-10$ or $9$
$\therefore r=\pm 3$ [ Taking real roots ]
Thus, the common ratio of the $G.P.$ is $±3$ .
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माना समीकरण $p x^2+q x-r=0, p \neq 0$ के मूल $\mathrm{p}, \mathrm{q}$ तथा $\mathrm{r}$ एक परिवर्तनीय (non-constant) $G.P.$ के क्रमागत पद हैं तथा $\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{3}{4}$ है, तो $(\alpha-\beta)^2$ का मान है :
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गुणोत्तर श्रेणी का योगफल निर्दिष्ट पदों तक ज्ञात कीजिए।
मान ज्ञात कीजिए $\sum_{k=1}^{11}\left(2+3^{k}\right)$
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$2.\mathop {357}\limits^{ \bullet \,\, \bullet \,\, \bullet } = $
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$60$ तथा $n$ पदों की दो $G.P.$ क्रमशः $2,2^2, 2^3, \ldots$ तथा $4,4^2, 4^3, \ldots$ हैं। यदि सभी $60+ n$ पदों का गुणोत्तर माध्य $(2)$ ${ }^{\frac{225}{8}}$ है, तो $\sum \limits_{ k =1}^{ n } k ( n - k )$ बराबर है :
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अनुक्रम $3 + 33 + 333 + ....$ के $n$ पदों का योग होगा
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