किसी गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद $1$ है। तीसरे एवं पाँचवें पदों का योग $90$ हो तो गुणोत्तर श्रेणी का सार्व अनुपात ज्ञात कीजिए।
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Let $a$ and $r$ be the first term and the common ratio of the $G.P.$ respectively.
$\therefore $ $a=1$ $a_{3}=a r^{2}=r^{2} \quad a_{5}=a r^{4}=r^{4}$
$\therefore r^{2}+r^{4}=90$
$\Rightarrow r^{4}+r^{2}-90=0$
$\Rightarrow r^{2}=\frac{-1+\sqrt{1+360}}{2}=\frac{-1 \pm \sqrt{361}}{2}=-10$ or $9$
$\therefore r=\pm 3$ [ Taking real roots ]
Thus, the common ratio of the $G.P.$ is $±3$ .
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यदि $a , b$ तथा $c$ तीन विभिन्न संख्यायें गुणोत्तर श्रेणी में है तथा $a+b+c=x b$ हो, तो $x$ का मान नहीं हो सकता है
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- [JEE MAIN 2019]
यदि $a,\;b,\;c$ समान्तर श्रेणी में, $b,\;c,\;d$ गुणोत्तर श्रेणी में तथा $c,\;d,\;e$ हरात्मक श्रेणी में हैं, तो $a,\;c,\;e$ होंगे
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उस गुणोत्तर श्रेणी का $12$ वाँ पद ज्ञात कीजिए, जिसका $8$ वाँ पद $192$ तथा सार्व अनुपात $2$ है।
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यदि $a$ व $b$ समीकरण ${x^2} - 3x + p = 0$ के मूल हैं तथा $c$ व $d$ समीकरण ${x^2} - 12x + q = 0$ के मूल हैं, जहाँ $a,\;b,\;c,\;d$ एक वर्धमान गुणोत्तर श्रेणी बनाते हैं, तब $(q + p):(q - p)$ का अनुपात है
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श्रेणी $.9 + .09 + .009.........$ के $100$ पदों का योग होगा
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