સંખ્યા $111......1$ ($91$ વખત) એ . . .

$(1 + x) (1 + x + x^2) (1 + x + x^2 + x^3) ...... (1 + x + x^2 + ...... + x^{100})$ ના વિસ્તરણમાં બહુપદીનો ઘાતાંક મેળવો 

જો $^{20}{C_1} + \left( {{2^2}} \right){\,^{20}}{C_3} + \left( {{3^2}} \right){\,^{20}}{C_3} + \left( {{2^2}} \right) + ..... + \left( {{{20}^2}} \right){\,^{20}}{C_{20}} = A\left( {{2^\beta }} \right)$ થાય તો $(A, \beta )$ ની કિમત મેળવો. 

જો ${\left( {1 - \frac{2}{x} + \frac{4}{{{x^2}}}} \right)^n},x \ne 0$ ના વિસ્તરણમાં પદોની સંખ્યા $28$ છે,તો આ વિસ્તરણમાંના બધાજ પદોના સહગુણકોનો સરવાળો . . . . છે. 

${(1 + x)^{15}}$ ના વિસ્તરણમાં છેલ્લા આઠ પદનો સરવાળો મેળવો.

ધારો કે પૂર્ણાકો $n$ અને $r$ માટે $\left(\begin{array}{l} n \\ r \end{array}\right)=\left\{\begin{array}{ll}{ }^{n} C _{ r }, & \text { if } n \geq r \geq 0 \\ 0, & \text { otherwise }\end{array}\right.$ છે. તો સરવાળા $\sum_{i=0}^{k}\left(\begin{array}{c}10 \\ i\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}15 \\ k-i\end{array}\right)+\sum_{i=0}^{k+1}\left(\begin{array}{c}12 \\ i\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}13 \\ k+1-i\end{array}\right)$ નું અસ્તિત્વ હોય, તેવી $k$ ની મહત્તમ કિમત ...... છે.