${(x + a)^n}$ ના વિસ્તરણમાં , $A$ એ અયુગ્મ પદનો સરવાળો દર્શાવે છે અને $B$ એ યુગ્મ પદનો સરવાળો દર્શાવે છે તો . . . ..

જો $\left(1+x+2 x^{2}\right)^{20}=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\ldots+a_{40} x^{40}$ હોય તો  $a _{1}+ a _{3}+ a _{5}+\ldots+ a _{37}$ ની કિમંત મેળવો.

વિધાન $1$: $\mathop \sum \limits_{r = 0}^n \left( {r + 1} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}n\\r\end{array}} \right) = \left( {n + 2} \right){2^{n – 1}}$

વિધાન $2$:$\;\mathop \sum \limits_{r = 0}^n \left( {r + 1} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}n\\r\end{array}} \right){x^r}\; = {\left( {1 + x} \right)^n} + nx{\left( {1 + x} \right)^{n – 1}}$

$(1-x)^{100}$ ના દ્વિપદી વિસ્તરણમાં પ્રથમ $50$ પદોના સહગુણકોનો સરવાળો $…….$ છે.

ધારોકે $\sum \limits_{r=0}^{2023} r^{2023} C_r=2023 \times \alpha \times 2^{2022}$, તો $\alpha$ નું મૂલ્ય $…………$ છે.