बिना पुनरावृत्ति के $UNIVERSE$ शब्द के अक्षरों से बनाए जा सकने वाले $4$ अक्षरों, जिनमें $2$ स्वर तथा $2$ व्यंजक हों, के अर्थपूर्ण या अर्थहीन शब्दों की संख्या है_____________

$6$ व्यंजन व $5$ स्वरों से $4$ व्यंजन एवं $3$ स्वरों के कुल कितने शब्द बनाये जा सकते हैं

एक शहर में न तो दो व्यक्ति एकसमान दाँतों का समूह रखते हैं और न ही कोई व्यक्ति ऐसा है जिसके दाँत न हों। साथ ही किसी व्यक्ति के $32$ से ज्यादा दाँत नहीं हैं। यदि हम दाँतों के आकार तथा आकृति की उपेक्षा कर दें तथा दाँतों की केवल स्थिति पर ध्यान दें, तब शहर की अधिकतम जनसंख्या है

माना $\mathrm{S}=\{1,2,3,5,7,10,11\}$ है। $\mathrm{S}$ के अरिक्त उपसमुच्चयों, जिनके सभी अवयवों का योग $3$ का एक गुणज है, की संख्या है__________. 

उन छ: अंकों की प्राकृत संख्याओं की कुल संख्या जो अंकों $1,\,2,\, 3,\, 4$ से बन सकती हैं, यदि सभी संख्याओं में प्रत्येंक अंक कम से कम एक बार आये

प्राकृत संख्या $n$ का न्यूनतम मान जो कि   $C(n,\,5) + C(n,\,6)\,\, > C(n + 1,\,5)$ को संतुष्ट करता है, होगा