अतिपरवलय $16{x^2} – {y^2} + 64x + 4y + 44 = 0$ के अनुप्रस्थ अक्ष तथा संयुग्मी अक्ष के समीकरण हैं

एक अतिपरवलय के शीर्ष $(0, 0)$ तथा $(10, 0)$ और एक नाभि $(18, 0)$ है। अतिपरवलय का समीकरण है

शांकवों $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ तथा $\frac{{{y^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{x^2}}}{{{b^2}}} = 1$ की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा का समीकरण है

माना $\mathrm{H}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{x}^2}{1+\mathrm{n}}-\frac{\mathrm{y}^2}{3+\mathrm{n}}=1, \mathrm{n} \in \mathrm{N}$ हैं। माना $\mathrm{k}$, $\mathrm{n}$ का वह न्यूनतम सम मान है जिसके लिए $\mathrm{H}_{\mathrm{k}}$ की उत्केन्द्रता एक परिमेय संख्या है। यदि $\mathrm{H}_k$ की नाभिलंब जीवा की लंबाई $l$ है, तो $21 l$ बराबर __________है।

माना $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ है। यदि अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{\cos ^{2} \theta}-\frac{y^{2}}{\sin ^{2} \theta}=1$ की उत्केंद्रता $2$ से अधिक है , तो इसके नाभिलंब की लंबाई जिस अंतराल में है, वह है-