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माना $\mathrm{H}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{x}^2}{1+\mathrm{n}}-\frac{\mathrm{y}^2}{3+\mathrm{n}}=1, \mathrm{n} \in \mathrm{N}$ हैं। माना $\mathrm{k}$, $\mathrm{n}$ का वह न्यूनतम सम मान है जिसके लिए $\mathrm{H}_{\mathrm{k}}$ की उत्केन्द्रता एक परिमेय संख्या है। यदि $\mathrm{H}_k$ की नाभिलंब जीवा की लंबाई $l$ है, तो $21 l$ बराबर __________है।
$305$
$306$
$304$
$303$
Solution
$Hn \Rightarrow \frac{ x ^2}{1+ n }-\frac{ y ^2}{3+ n }=1$
$e =\sqrt{1+\frac{ b ^2}{ a ^2}}=\sqrt{1+\frac{3+ n }{1+ n }}=\sqrt{\frac{2 n +4}{ n +1}}$
$e =\sqrt{\frac{2 n +4}{ n +1}}$
$n =48(\text { smallest even value for which } e \in Q )$
$e =\frac{10}{7}$
$a ^2 =n+1 \quad b ^2=n+3$
$=49 \quad, \quad=51$
$1 =\text { length of } LR =\frac{2 b ^2}{ a }$
$L =2 \cdot \frac{51}{7}$
$1 =\frac{102}{7}$
$21 \ell=306$
