समीकरण $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}a&a&x\\m&m&m\\b&x&b\end{array}\,} \right| = 0$ के मूल हैं

यदि $\Delta  = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}a&{a + b}&{a + b + c}\\{3a}&{4a + 3b}&{5a + 4b + 3c}\\{6a}&{9a + 6b}&{11a + 9b + 6c}\end{array}\,} \right|$ जहाँ $a = i,b = \omega ,c = {\omega ^2}$, तब $\Delta $का मान होगा

यदि रेखीय समीकरणों का निकाय

$2 x+3 y-z=-2$

$x+y+z=4$

$x-y+|\lambda| z=4 \lambda-4$

जहाँ $\lambda \in R$, का कोई हल ना हो, तब

माना $p$ तथा $p +2$ अभाज्य संख्याएँ हैं तथा माना $\Delta=\left|\begin{array}{ccc}p ! & (p+1) ! & (p+2) ! \\ (p+1) ! & (p+2) ! & (p+3) ! \\ (p+2) ! & (p+3) ! & (p+4) !\end{array}\right|$ है। तब $\alpha$ तथा $\beta$ के अधिकतम मानों, जिनके लिए $p ^\alpha$ तथा $( p +2)^\beta, \Delta$ को विभाजित करते हैं, का योग है $...........$

यदि समीकरणों के निकाय $x+y+z=2$, $2 x+4 y-z=6$, $3 x+2 y+\lambda z=\mu$ के अनन्त हल हैं, तो

माना $\alpha$ के सभी वास्तविक मानों, जिनके लिए रेखाएँ $2 x-y+3=0,6 x+3 y+1=0$ तथा $\alpha x+2 y-2=0$ एक त्रिभुज नहीं बनाती है, के वर्गों का योग $\mathrm{p}$ है, तो महत्तम पूर्णांक $\leq \mathrm{p}$ है .......।