समीकरण $2{x^2} + 3x - 9 \le 0$ का हल होगा

यदि $x$ वास्तविक है तथा $k = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}$ हो, तब

$k ( k \neq 0)$ के सभी पूर्णांक मानों, जिनके लिए $x$ में समीकरण $\frac{2}{ x -1}-\frac{1}{ x -2}=\frac{2}{ k }$ का कोई वास्तविक मूल नहीं है, का योग है .......... |

यदि $\alpha ,\beta $ समीकरण ${x^2} - ax + b = 0$ के मूल हों तथा यदि ${\alpha ^n} + {\beta ^n} = {V_n}$ हों, तो     

माना कि $x ^2- x -1=0$ के मूल (roots) $\alpha$ और $\beta$ हैं, जहाँ $\alpha>\beta$ है। सभी धनात्मक पूर्णांकों $n$ के लिए निम्न को परिभाषित किया गया है

$a_n=\frac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta}, n \geq 1$

$b_1=1 \text { and } b_n=a_{n-1}+a_{n+1}, n \geq 2.$

तब निम्न में से कौनसा (से) विकल्प सही है (हैं) ?

$(1)$ प्रत्येक $n \geq 1$ के लिए, $a _1+ a _2+ a _3+\ldots . .+ a _{ n }= a _{ n +2}-1$

$(2)$ $\sum_{ n =1}^{\infty} \frac{ a _{ n }}{10^{ n }}=\frac{10}{89}$

$(3)$ $\sum_{ n =1}^{\infty} \frac{ b _{ n }}{10^{ n }}=\frac{8}{89}$

$(4)$ प्रत्येक $n \geq 1$ के लिए, $b _{ n }=\alpha^{ n }+\beta^{ n }$

$A B C$ त्रिभुज में $A B, A C$ पर क्रमशः $D$ और $E$ बिन्दु हैं जिससे कि $D E B C$ के समांतर $(parallel)$ है। मान लीजिए कि BE, CD O पर प्रतिच्छेद $(intersect)$ होते है। यदि $ADE$ मौर $ODE$ त्रिभुजों का क्षेत्र फल $(area)$ क्रमश: $3$ और $1$ है तो $ABC$ का क्षेत्रफल औचित्य $(justification)$ के साथ ज्ञात करें।