समीकरण $pq{x^2} - {(p + q)^2}x + {(p + q)^2} = 0$  का हल समुच्चय है

असमिका ${x^2} - 4x < 12\,{\rm{ }}$ का हल होगा

सभी $a \in \mathbb{R}$, जिनके लिए समीकरण $\mathrm{x}|\mathrm{x}-1|+|\mathrm{x}+2|+\mathrm{a}=0$ का मात्र एक वास्तविक मूल है :

माना $\lambda \in \mathbb{R}$ है तथा माना समीकरण $\mathrm{E}:|\mathrm{x}|^2-2|\mathrm{x}|+|\lambda-3|=0$ है। तो समुच्चय $\mathrm{S}=\{\mathrm{x}+\lambda: \mathrm{x}, \mathrm{E}$ का एक पूर्णांक हल है $\}$ में सबसे बड़ा अवयव है______________. 

माना कि $x ^2- x -1=0$ के मूल (roots) $\alpha$ और $\beta$ हैं, जहाँ $\alpha>\beta$ है। सभी धनात्मक पूर्णांकों $n$ के लिए निम्न को परिभाषित किया गया है

$a_n=\frac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta}, n \geq 1$

$b_1=1 \text { and } b_n=a_{n-1}+a_{n+1}, n \geq 2.$

तब निम्न में से कौनसा (से) विकल्प सही है (हैं) ?

$(1)$ प्रत्येक $n \geq 1$ के लिए, $a _1+ a _2+ a _3+\ldots . .+ a _{ n }= a _{ n +2}-1$

$(2)$ $\sum_{ n =1}^{\infty} \frac{ a _{ n }}{10^{ n }}=\frac{10}{89}$

$(3)$ $\sum_{ n =1}^{\infty} \frac{ b _{ n }}{10^{ n }}=\frac{8}{89}$

$(4)$ प्रत्येक $n \geq 1$ के लिए, $b _{ n }=\alpha^{ n }+\beta^{ n }$

समीकरण $\mathrm{x}^2-4 \mathrm{x}+[\mathrm{x}]+3=\mathrm{x}[\mathrm{x}]$, जहाँ $[\mathrm{x}]$ महत्तम पूर्णांक फलन है,