किसी अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग 3 है त?

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8. Sequences and Series

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किसी अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $3$ है तथा श्रेणी के पदों के वर्गों का योग भी $3$ है, तो श्रेणी होगी

A

$\frac{3}{2},\frac{3}{4},\frac{3}{8},\frac{3}{{16}},.....$

B

$\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{{16}},.....$

C

$\frac{1}{3},\frac{1}{9},\frac{1}{{27}},\frac{1}{{81}},.....$

D

$1, - \frac{1}{3},\,\frac{1}{{{3^2}}}, - \frac{1}{{{3^3}}},.....$

Solution

(a) ${({S_1})_\infty } = \frac{a}{{1 – r}} = 3$ या $a = 3\,(\,1 – r)$ …..$(i)$

${({S_2})_\infty } = \frac{{{a^2}}}{{1 – {r^2}}} = 3$

या ${a^2} = 3\,(1 – {r^2})$ या $9\,{(1 – r)^2} = 3\,(1 – {r^2})$, [समी. $(i)$ से]

या $3\,(1 – 2r + {r^2}) = 1 – {r^2}$ या $2{r^2} – 3r + 1 = 0$

या $(r – 1)\,(2r – 1) = 0$,

$\therefore $$r = 1,\frac{1}{2}$

यदि$r = 1,$ तब $a = 3(1 – 1) = 0$, जोकि असंभव है।

यदि $r = \frac{1}{2},$तब $a = 3\,\left( {1 – \frac{1}{2}} \right) = 3/2$

अत: अभीष्ट श्रेणी $3/2, 3/4, 3/8, 3/16,….. $ है।

Standard 11

Mathematics

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