दो संख्याओं का योगफल उनके गुणोत्तर माध्य का $6$ गुना है तो दिखाइए कि संख्याएँ $(3+2 \sqrt{2}):(3-2 \sqrt{2})$ के अनुपात में हैं।
Le the two numbers be $a$ and $b$
$G.M.$ $=\sqrt{a b}$
According to the given condition,
$a+b=6 \sqrt{a b}$ ..........$(1)$
$\Rightarrow(a+b)^{2}=36(a b)$
Also,
$(a-b)^{2}=(a+b)^{2}-4 a b=36 a b-4 a b=32 a b$
$\Rightarrow a-b=\sqrt{32} \sqrt{a b}$
$=4 \sqrt{2} \sqrt{a b}$ .........$(2)$
Adding $(1)$ and $(2),$ we obtain
$2 a=(6+4 \sqrt{2}) \sqrt{a b}$
$a=(3+2 \sqrt{2}) \sqrt{a b}$
Substituting the value of $a$ in $(1),$ we obtain
$b=6 \sqrt{a b}-(3+2 \sqrt{2}) \sqrt{a b}$
$\Rightarrow b=(3-2 \sqrt{2}) \sqrt{a b}$
$\frac{a}{b}=\frac{(3+2 \sqrt{2}) \sqrt{a b}}{(3-2 \sqrt{2}) \sqrt{a b}}=\frac{3+2 \sqrt{2}}{3-2 \sqrt{2}}$
Thus, the required ratio is $(3+2 \sqrt{2}):(3-2 \sqrt{2})$
ऐसे चार पद ज्ञात कीजिए जो गुणोत्तर श्रेणी में हो, जिसका तीसरा पद प्रथम पद से $9$ अधिक हो तथा दूसरा पद चौथे पद से $18$ अधिक हो।
यदि $486$ तथा $\frac{2}{3}$ के मध्य पांच गुणोत्तर माध्य रखे जायें, तो चतुर्थ गुणोत्तर माध्य होगा
यदि $a,\;b,\;c$ गुणोत्तर श्रेणी के $p$ वें, $q$ वें तथा $r$ वें पद हैं, तब ${\left( {\frac{c}{b}} \right)^p}{\left( {\frac{b}{a}} \right)^r}{\left( {\frac{a}{c}} \right)^q}$ का मान है
वृत्त $C_0$ की त्रिज्या $1$ है। प्रत्येक पूर्णांक $n \geq 1$ के लिए $C_n$ एक ऐसा वृत्त है जिसका क्षेत्रफल उस वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है जो $C_{n-1}$ में अंतर्गत किया गया है। ऐसी स्थिति में दी गई अनंत श्रेणी $\sum_{i=0}^{\infty}\left(C_i\right.$ का क्षेत्रफल $)$ का मान होगा:
यदि किसी गुणोत्तर श्रेणी का दसवां पद $9$ तथा चौथा पद $4$ हो, तो उसका सातवां पद है