एक गुणोत्तर श्रेढ़ी $(G.P.)$ के तीसरे तथा चौथे पदों का योग $60$ है तथा इसके प्रथम तीन पदों का गुणनफल $1000$ है। यदि इस गुणोत्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद धनात्मक है, तो इसका सातवां पद है

किसी गुणोत्तर श्रेणी के प्रथम तीन पदों का योगफल $16$ है तथा अगले तीन पदों का योग $128$ है तो गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद, सार्व अनुपात तथा $n$ पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।

एक $GP$ का चौथा पद $500$ है तथा इसका सार्व अनुपात $\frac{1}{\mathrm{~m}}, \mathrm{~m} \in \mathrm{N}$ है। माना इस $GP$ के प्रथम $\mathrm{n}$ पदों का योग $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ है। यदि $\mathrm{S}_6>\mathrm{S}_5+1$ तथा $\mathrm{S}_7<\mathrm{S}_6+\frac{1}{2}$ है, तो $\mathrm{m}$ के संभव मानों की संख्या है______________. 

यदि $x = 1 + a + {a^2} + ....\infty ,\,(a < 1)$ $y = 1 + b + {b^2}.......\infty ,\,(b < 1)$

तब  $1 + ab + {a^2}{b^2} + ..........\infty $ का मान होगा

यदि $a , b , c , d$ तथा $p$ कोई भी अशून्य वास्तविक संख्याएँ हैं, कि $\left( a ^{2}+ b ^{2}+ c ^{2}\right) p ^{2}-2( ab + bc + cd ) p +\left( b ^{2}+ c ^{2}\right.$ $\left.+ d ^{2}\right)=0$, है, तो

यदि $2^{10}+2^{9} \cdot 3^{1}+28 \cdot 3^{2}+\ldots+2 \cdot 3^{9}+3^{10}=$ $S -211$, तो $S$ बराबर है