${(1 + x + {x^2} + {x^3})^5}$ के विस्तार में $x$  की सम घातों के गुणांकों का योगफल है

यदि $\sum_{ r =0}^{25}\left\{{ }^{50} C _{ r } \cdot{ }^{50- r } C _{25- r }\right\}= K \left({ }^{50} C _{25}\right)$ हो, तो $K$ का मान होगा

${(x + 3)^{n - 1}} + {(x + 3)^{n - 2}}(x + 2)$$ + {(x + 3)^{n - 3}}{(x + 2)^2} + ... + {(x + 2)^{n - 1}}$ के विस्तार में ${x^r}[0 \le r \le (n - 1)]$ का गुणांक है

$^n{C_0} - \frac{1}{2}{\,^n}{C_1} + \frac{1}{3}{\,^n}{C_2} - ...... + {( - 1)^n}\frac{{^n{C_n}}}{{n + 1}} = $

यदि गुणनफल $\left(1+ x + x ^{2}+\ldots+ x ^{2 n }\right)\left(1- x + x ^{2}\right.$ $\left.- x ^{3}+\ldots+ x ^{2 n }\right)$ में, $x$ के सभी सम-घातों वाले गुणाकों का योगफल $61$ है, तो $n$ बराबर ....... है |

$\left(x+\sqrt{x^{3}-1}\right)^{5}+\left(x-\sqrt{x^{3}-1}\right)^{5},(x>1)$ के प्रसार में सभी विषम घातों वाले पदों के गुणांकों का योग है