यदि {C_0},{C₁},{C₂},.......,{Cₙ} द्विपद गुणांक हो, तो 2.

English

Gujarati

Hindi

7.Binomial Theorem

medium

यदि ${C_0},{C_1},{C_2},.......,{C_n}$ द्विपद गुणांक हो, तो $2.{C_1} + {2^3}.{C_3} + {2^5}.{C_5} + ....$ का $n$ पदों तक मान होगा

$\frac{{{3^n} + {{( - 1)}^n}}}{2}$

$\frac{{{3^n} - {{( - 1)}^n}}}{2}$

$\frac{{{3^n} + 1}}{2}$

$\frac{{{3^n} - 1}}{2}$

Solution

${(1 + x)^n} = {C_0} + {C_1}x + {C_2}{x^2} + {C_3}{x^3} + ….. + {C_n}{x^n}$

${(1 – x)^n} = {C_0} – {C_1}x + {C_2}{x^2} – {C_3}{x^3} + ….. + {( – 1)^n}{C_n}{x^n}$$[{(1 + x)^n} – {(1 – x)^n}] = 2\,[{C_1}x + {C_3}{x^3} + {C_5}{x^5} + …]$

$\frac{1}{2}[{(1 + x)^n} – {(1 – x)^n}] = {C_1}x + {C_3}{x^3} + {C_5}{x^5} + …….$

$x = 2$ रखने पर, $2.{C_1} + {2^3}.{C_3} + {2^5}.{C_5} + …..\, = \frac{{{3^n} – {{( – 1)}^n}}}{2}$

Standard 11

Mathematics

$\frac{{{C_0}}}{1} + \frac{{{C_1}}}{2} + \frac{{{C_2}}}{3} + …. + \frac{{{C_n}}}{{n + 1}} = $

medium

माना $m, n \in N$ तथा $\operatorname{gcd}(2, n)=1$ हैं। यदि $30\left(\begin{array}{l}30 \\ 0\end{array}\right)+29\left(\begin{array}{l}30 \\ 1\end{array}\right)+\ldots+2\left(\begin{array}{l}30 \\ 28\end{array}\right)+1\left(\begin{array}{l}30 \\ 29\end{array}\right)= n .2^{ m }$ हैं तो $n + m$ बराबर है I (यहाँ) $\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right)={ }^{ n } C _{ k }$ है।

hard

(JEE MAIN-2021)

$^n{C_0} – \frac{1}{2}{\,^n}{C_1} + \frac{1}{3}{\,^n}{C_2} – …… + {( – 1)^n}\frac{{^n{C_n}}}{{n + 1}} = $

normal

मान लीजिए कि $\left(\frac{n}{k}\right)=\frac{n !}{k !(n-k) !} \mid$ तब योग $\frac{1}{2^{10}} \sum_{k=0}^{10}\left(\frac{10}{k}\right) k^2$ का मान किस अंतराल में होगा ?

normal

(KVPY-2021)

$\frac{{{C_1}}}{2} + \frac{{{C_3}}}{4} + \frac{{{C_5}}}{6} + …..$ का मान है