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10-1.Circle and System of Circles
hard
वृत्त ${x^2} + {y^2} = 4$ के किसी बिन्दु $P$ पर स्पर्श रेखा अक्षों को $A$ व $B$ पर मिलती है, तो
A
$AB$ की लम्बाई नियत है
B
$PA$ व $PB$ हमेशा बराबर होते हैं
C
$AB$ के मध्य बिन्दु का बिन्दुपथ ${x^2} + {y^2} = {x^2}{y^2}$ है
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(c) माना बिन्दु $P({x_1},\;{y_1})$, वृत्त ${x^2} + {y^2} = 4$ पर स्थित है तो $P$ पर स्पर्षी का समीकरण $x{x_1} + y{y_1} = 4$ है
जो अक्षों को $A\left( {\frac{4}{{{x_1}}},\;0} \right)$ व $B{\rm{ }}\left( {0,\;\frac{4}{{{y_1}}}} \right)$ पर मिलती है, अत: $(a), (b)$ सत्य नहीं हैं।
माना $(h,\;k)$ $AB$ का मध्य बिन्दु है।
अत: $h = \frac{2}{{{x_1}}},\;k = \frac{2}{{{y_1}}}$ अर्थात् ${x_1} $
$= \frac{2}{h},\;{y_1} = \frac{2}{k}$
परन्तु $({x_1},\;{y_1})$वृत्त ${x^2} + {y^2} = 4$ पर स्थित है।
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