{left( {2x + frac{1}{{3x}}} right)^6} के प्रसार में x से स्वतं?

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7.Binomial Theorem

easy

${\left( {2x + \frac{1}{{3x}}} \right)^6}$ के प्रसार में $x$ से स्वतंत्र पद है

$\frac{{160}}{9}$

$\frac{{80}}{9}$

$\frac{{160}}{{27}}$

$\frac{{80}}{3}$

Solution

$1(6 – r) + ( – 1)r = 0 \Rightarrow r = 3,$

अत: चौथा पद $x$ से स्वतंत्र होगा अर्थात् $^6{C_3}{(2x)^3}{\left( {\frac{1}{{3x}}} \right)^3} = 20 \times 8 \times \frac{1}{{27}} = \frac{{160}}{{27}}$.

Standard 11

Mathematics

व्यंजक ${[x + {x^{{{\log }_{10}}(x)}}]^5}$ में $x$ का मान है, यदि इसके विस्तार में तीसरा पद $106$ हो

medium

यदि $p$ तथा $q$ धनात्मक पूर्णांक हों, तो${(1 + x)^{p + q}}$ के विस्तार में ${x^p}$ तथा ${x^q}$ के गुणांक होंगे

easy

(AIEEE-2002)

यदि $\left(\frac{4 x}{5}-\frac{5}{2 x}\right)^{2022}$ के द्विपद प्रसार में अंत से $1011$ वाँ पद, आरंभ से $1011$ वें पद का $1024$ गुना है, तो $|\mathrm{x}|$ बराबर है –

hard

(JEE MAIN-2023)

एक घन पूर्णाक $n$ के लिए, $\left(1+\frac{1}{ x }\right)^{ n}$ को $x$ की बढ़ती घातों में प्रसारित किया गया है। यदि इस प्रसार में तीन क्रमागत गुणांकों का अनुपात, $2: 5: 12$ है, तो $n$ बराबर है –

medium

(JEE MAIN-2020)

यदि ${\left( {2 + \frac{x}{3}} \right)^n}$ में ${x^7}$ तथा ${x^8}$ के गुणांक बराबर हैं, तब $n$ है

easy

${\left( {2x + \frac{1}{{3x}}} \right)^6}$ के प्रसार में $x$ से स्वतंत्र पद है

Solution

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यदि $\left(\frac{4 x}{5}-\frac{5}{2 x}\right)^{2022}$ के द्विपद प्रसार में अंत से $1011$ वाँ पद, आरंभ से $1011$ वें पद का $1024$ गुना है, तो $|\mathrm{x}|$ बराबर है –

यदि ${\left( {2 + \frac{x}{3}} \right)^n}$ में ${x^7}$ तथा ${x^8}$ के गुणांक बराबर हैं, तब $n$ है

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