निम्नलिखित प्रसारों में मध्य पद ज्ञात कीजिए
$\left(\frac{x}{3}+9 y\right)^{10}$
It is known that in the expansion of $(a+b)^{n},$ in $n$ is even, then the middle term is $\left(\frac{n}{2}+1\right)^{th}$ term
Therefore, the middle term in the expansion of $\left(\frac{x}{3}+9 y\right)^{10}$ is $\left(\frac{10}{2}+1\right)^{th}=6^{th}$
$ = \frac{{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}}{{4! \cdot 3 \cdot 2}} \cdot \frac{{{3^3}}}{{{2^4} \cdot {3^4}}} \cdot {x^{12}} = \frac{{35}}{{48}}{x^{12}}{T_4} = {T_{5 + 1}} = {\,^{10}}{C_5}{\left( {\frac{x}{3}} \right)^{10 - 5}}{(9y)^5} = \frac{{10!}}{{515!}} \cdot \frac{{{x^5}}}{{{3^5}}} \cdot {9^5} \cdot {y^5}$
$ = \frac{{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6.5!}}{{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2.5!}} \cdot \frac{1}{{{3^5}}} \cdot {3^{10}} \cdot {x^5}{y^5}$ $\left[9^{5}=\left(3^{2}\right)^{5}=3^{10}\right]$
$ = 252 \times {3^5} \cdot {x^5} \cdot {y^5} = 6123{x^5}{y^5}$
Thus, the middle term in the expansion of $\left(\frac{x}{3}+9 y\right)^{10}$ is $61236 x^{5} y^{5}$
यदि $\left(x+x^{\log _{2} x}\right)^{7}$ के प्रसार में चौथा पद $4480$ है, तो $x ( x \in N )$ का मान है
यदि $x$ की घातों (powers) में, व्यंजक $\left(1+ ax + bx ^{2}\right)$ $(1-3 x)^{15}$ के प्रसार में $x^{2}$ तथा $x^{3}$ दोनों के गुणांक शून्य के बराबर हैं, तो क्रमित युग्म $( a , b )$ बराबर है
${(1 + x)^{2n}}$ के विस्तार में मध्य पद होगा
यदि ${\left( {2 + \frac{x}{3}} \right)^n}$ में ${x^7}$ तथा ${x^8}$ के गुणांक बराबर हैं, तब $n$ है
माना $\left(\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3}}+\frac{1}{2 x^{\frac{2}{3}}}\right)^{18}$ के प्रसार में सातवें तथा तेरहवें पदों के गुणांक क्रमशः $m$ तथा $n$ है। तो $\left(\frac{n}{m}\right)^{\frac{1}{3}}$ बराबर है :