એક દોરી (બંને છેડે જડિત)નું લંબગત સ્થાનાંતર
$y(x, t)=0.06 \sin \left(\frac{2 \pi}{3} x\right) \cos (120 \pi t)$
પરથી મળે છે, જ્યાં $x$ અને $y$ $m$ માં અને $t$ $s$ માં છે. દોરીની લંબાઈ $1.5\, m$ અને દળ $3.0 \times 10^{-2}\, kg$ છે.
નીચેના ઉત્તર આપો :
$(a)$ આ વિધેય પ્રગામી તરંગ કે સ્થિત તરંગ રજૂ કરે છે ?
$(b)$ આ તરંગનું વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા બે તરંગોના સંપાતપણા તરીકે અર્થઘટન કરો. દરેક તરંગની તરંગલંબાઈ, આવૃત્તિ અને ઝડપ કેટલા હશે ?
$(c)$ દોરીમાંનો તણાવ શોધો.
The general equation representing a stationary wave is given by the displacement function
$y(x, t)=2 a \sin k x \cos \omega t$
This equation is similar to the given equation:
$y(x, t)=0.06 \sin \left(\frac{2}{3} x\right) \cos (120 \pi t)$
Hence, the given function represents a stationary wave.
A wave travelling along the positive $x$ -direction is given as:
$y_{1}=a \sin (\omega t-k x)$
The wave travelling along the negative $x$ -direction is given as:
$y_{2}=a \sin (\omega t+k x)$
The superposition of these two waves yields:
$y=y_{1}+y_{2}=a \sin (\omega t-k x)-a \sin (\omega t+k x)$
$=a \sin (\omega t) \cos (k x)-a \sin (k x) \cos (\omega t)-a \sin (\omega t) \cos (k x)-a \sin (k x) \cos (\omega t)$
$=-2 a \sin (k x) \cos (\omega t)$
$=-2 a \sin \left(\frac{2 \pi}{\lambda} x\right) \cos (2 \pi v t)\dots(i)$
The transverse displacement of the string is given as
$y(x, t)=0.06 \sin \left(\frac{2 \pi}{3} x\right) \cos (120 \pi t)\dots(ii)$
Comparing equations ( $i$ ) and $(ii)$, we have:
$\frac{2 \pi}{\lambda}=\frac{2 \pi}{3}$
Wavelength, $\lambda=3 \,m$
It is given that:
$120 \pi=2 \pi v$
Frequency, $v=60 \,Hz$
Wave speed, $v=v \lambda$
$=60 \times 3=180 \,m / s$
The velocity of a transverse wave travelling in a string is given by the relation:
$v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}$
Where,
Velocity of the transverse wave, $v=180 \,m / s$
Mass of the string, $m=3.0 \times 10^{-2} \,kg$
Length of the string, $l=1.5 \,m$
Mass per unit length of the string, $\mu=\frac{m}{l}$
$=\frac{3.0}{1.5} \times 10^{-2}$
$=2 \times 10^{-2}\, kg\, m ^{-1}$
Tension in the string $=T$
$T=v^{2} \mu$
$=(180)^{2} \times 2 \times 10^{-2}$
$=648\, N$
દોરીની રેખીય ઘનતાની વ્યાખ્યા અને પારિમાણિક સૂત્ર લખો.
જો તારમાં રહેલું તણાવબળ ચાર ગણું કરવામાં આવે, તો તારમાં તરંગની ઝડપમાં શો ફેરફાર થશે ? તે જણાવો ?
$50\,cm$ લંબાઈ અને $10\,g$ દળ ધરાવતી એક દોરી પરથી પસાર થતા લંબગતત તરંગોની ઝડપ $60\,ms ^{-1}$ જેટલી છે. તારના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $2.0\,mm ^2$ અને તેનો યંગ-મોડ્યુલસ $1.2 \times 10^{11}\,Nm ^{-2}$ છે. તારમાં તણાવને કારણે તેની મૂળ પ્રાકૃતિક લંબાઈ કરતા (લંબાઈમાં) વિસ્તરણ $x \times 10^{-5} \;m$ જેટલું છે. $x$ નું મૂલ્ય $............$ થશે.
ખેંચાયેલી દોરીનું પ્રારંભિક તાણાવ બમણું કરવામાં આવે તો દોરીને સમાંતર લંબગત તરંગની પ્રારંભિક અને અંતિમ ઝડપોનો ગુણોતર$.......$ હશે.
સ્ટીલના એક તારની લંબાઈ $12.0\, m$ અને દળ $2.10\, kg$ છે. તારમાં લંબગત તરંગની ઝડપ સૂકી હવામાં $20 \,^oC$ તાપમાને ધ્વનિની ઝડપ જેટલી એટલે કે $343\, ms^{-1}$ જેટલી બને તે માટે તારમાં તણાવ કેટલો હોવો જોઈએ ?