$\sum\limits_{r = 0}^{n - 1} {\frac{{^n{C_r}}}{{^n{C_r} + {\,^n}{C_{r + 1}}}}} $ का मान है

एक व्यक्ति $(2n + 1)$ सिक्कों में से कम से कम एक तथा अधिकतम $n$ सिक्के चुन सकता है यदि वह सिक्कों को कुल $255$ प्रकार से चुन सकता है, तो $n$ का मान होगा

टीम ' $A$ ' में $7$ लड़के तथा $n$ लड़कियोँ है तथा टीम ' $B$ ' में $4$ लड़के तथा $6$ लड़कियों है। यदि इन दो टीम के बीच कुल $52$ एकल मैच आयोजित किए जा सकते हैं, जब एक लड़का, एक लड़के के विरूद्ध खेलता है तथा एक लड़की, एक लड़की के विरुद्ध खेलती है, तो $n$ बराबर है

यदि $^{{n^2} - n}{C_2}{ = ^{{n^2} - n}}{C_{10}}$, तो $n = $

एक चुनाव में $5$ उम्मीदवार हैं एवं तीन रिक्त स्थान हैं। एक मतदाता अधिकतम तीन उम्मीदवारों को मत दे सकता है, तो मतदाता कुल कितने प्रकार से मत दे सकता है  

यदि $a , b$ तथा $c$ क्रमश: ${ }^{19} C _{ p },{ }^{20} C _{ q }$ तथा ${ }^{21} C _{ r }$ के अधिकतम मान हैं, तो