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6.Permutation and Combination
hard
क्रमित युग्मों $( r , k )$, जिनके लिए $6 \cdot{ }^{35} C _{ r }=\left( k ^{2}-3\right)^{36} C _{ r +1}$, जहाँ $k$ एक पूर्णांक हैं, की संख्या है :-
A
$3$
B
$2$
C
$4$
D
$6$
(JEE MAIN-2020)
Solution
$6 \times^{35} \mathrm{C}_{\mathrm{r}}=\left(\mathrm{k}^{2}-3\right)^{36} \mathrm{C}_{\mathrm{r}+1}$
$k^{2}-3>0 \Rightarrow k^{2}>3$
$\mathrm{k}^{2}-3=\frac{6 \mathrm{\times}^{35} \mathrm{C}_{\mathrm{r}}}{^{36} \mathrm{C}_{\mathrm{r}+1}}=\frac{\mathrm{r}+1}{6}$
Possible values of $\mathrm{r}$ for integral values of $\mathrm{k},$ are
$r=5,35$
number of ordered pairs are $4$
$(5,2),(5,-2),(35,3),(35,-3)$
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