$\alpha$ के लिए वह मान, जिनके लिए $\left|\begin{array}{ccc}1 & \frac{3}{2} & \alpha+\frac{3}{2} \\ 1 & \frac{1}{3} & \alpha+\frac{1}{3} \\ 2 \alpha+3 & 3 \alpha+1 & 0\end{array}\right|=0$ है, किस अंतराल में है ?

माना $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $x ^{3}+ ax ^{2}+ bx + c =0$, $(a, b, c \in R$ तथा $a, b \neq 0)$ के वास्तविक मूल हैं। यदि $u , v , w$ में समीकरण निकाय $\alpha u +\beta v +\gamma w =0$, $\beta u+\gamma v+\alpha w=0 ; \gamma u+\alpha v+\beta w=0$ का अतुच्छ हल है, तो $\frac{a^{2}}{b}$ का मान है

माना $A =\left(\begin{array}{cc}4 & -2 \\ \alpha & \beta\end{array}\right)$ है। यदि $A ^2+\gamma A +18 I =$ $O$ है, तो $\operatorname{det}( A )$ बराबर है

सारणिक$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1\\1&{1 - x}&1\\1&1&{1 + y}\end{array}\,} \right|$ का मान है   

समीकरण निकाय $kx + y + z =1, x + ky + z = k$ तथा $x + y + zk = k ^{2}$ का कोई हल नहीं है, यदि $k$ बराबर है

माना समीकरण निकाय

$x+y+\alpha z=2$

$3 x+y+z=4$

$x+2 z=1$

का अद्वितीय हल $\left( x ^*, y ^*, z ^*\right)$ है यदि $\left(\alpha, x ^*\right)$, $\left( y ^*, \alpha\right)$ तथा $\left( x ^*,- y ^*\right)$ संरेखीय बिन्दु हो, तो $\alpha$ की सभी संभव मानों का निरपेक्ष मान होगा :