तीन शून्येत्तर वास्तविक संख्याएँ एक समान्तर श्रेणी बनाती हैं तथा इन संख्याओं के वर्ग उसी क्रम में लेने पर गुणोत्तर श्रेणी बनाते हैं, तब गुणोत्तर श्रेणी के सभी सम्भव सार्व-अनुपातों की संख्या है 

मान लीजिये कि $n \geq 3$ एक स्थिर पूर्णांक है और $\sigma=\left(a_1, a_2, \ldots, a_n\right)$ क्रमानुसार सूची $(1,2, \ldots, n)$ का एक क्रमचय है। इस क्रमचय $\sigma$ के संगतित $f_\sigma(x)=a_n x^{n-1}+a_{n-1} x^{n-2}+\cdots+a_2 x+a_1$ एक बहुपद है। यदि समीकरण $f_\sigma(x)=0$ के शून्यकों का योग $S_\sigma$ है और इस प्रकार प्राप्त हुई सभी संख्याओ $S_\sigma$ का योग $S$ है, तो

दो अनुक्रम $\{ {t_n}\} $ तथा $\{ {s_n}\} $इस प्रकार परिभाषित हैं कि ${t_n} = \log \left( {\frac{{{5^{n + 1}}}}{{{3^{n - 1}}}}} \right)\,,\,\,{s_n} = {\left[ {\log \left( {\frac{5}{3}} \right)} \right]^n}$ तब

यदि $A, G$ तथा $H$ किन्ही दो अलग घनात्मक वास्तविक संख्याओं का क्रमशः अंकगणितीय, ज्यामितीय तथा हरात्मक माध्य है, तब निम्नलिखित समीकरण $A(G-H) x^2+G(H-A) x+H(A-G)=0$, के दो मूलों में सबसे छोटा मूल $a$ इस प्रकार होगा कि

माना $\log _3\left(3^{y_1}+3^{y_2}+3^{y_3}\right)$ का न्यूनतम संभव मान $m$ है, जहाँ $y _1, y _2, y _3$ वास्तविक संख्यायें है जिसके लिये $y _1$ $+ y _2+ y _3=9$ है। माना $\left(\log _3 x _1+\log _3 x _2+\log _3 x _3\right)$ का अधिकतम मान $M$ है, जहाँ $x _1, x _2, x _3$ धनात्मक वास्तविक संख्यायें है जिसके लिये $x _1+ x _2+ x _3=9$ है। तब $\log _2\left( m ^3\right)+\log _3\left( M ^2\right)$ का मान होगा

यदि समान्तर श्रेणी, गुणोत्तर श्रेणी, हरात्मक श्रेणी के प्रथम तथा $(2n - 1)$ वाँ पद बराबर हो तथा इनके $n$ वें पद क्रमश: $a,\;b$ तथा $c$ हों, तब